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# 【數學謎題】數量錯覺魔術 - 放種子
>作者：啊綸 [color=green]
>[time=20210]

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這是某天學校同仁傳給我看的影片，當中的魔術深深地吸引我，研究了一下覺得非常有趣，因此記錄下來！

### 影片題目敘述
從影片看到小女孩先數正方形邊長上的種子，每一邊都是8顆，在正方形中間空白處另外放6顆種子，接著她拿起6顆中的其中1顆，放到正方形邊長上某一格，然後移動另一格上的1顆種子，重新數四邊的種子數，神奇的是四邊竟然都還是8顆，彷彿加進去的種子沒有增加總數一樣。影片中間就是一一將剩下的5顆種子放到邊上，每放一次都會移動另一格的1顆種子，而且每次操作完再數各邊長總和都是維持在8顆。看到這裡就讓人好奇，**放進去的那6顆去哪裡了？**

事實上種子的總數是有增加的，但小女孩的操作會讓我們產生總數不變的錯覺。如果我們跟著影片中的操作去做，會發現看似沒有規則的移動其實遵守一個模式，下一段就會來解釋這個模式的樣子，有興趣的朋友可以先思考看看小女孩是怎麼操作的。

### 原理講解
**種子總數與每一邊總和**

首先我們先記錄每一次操作時每一邊的數量變化，將正方形的四邊命名為「上、左、下、右」，以影片中操作第一顆種子的情況為例，先放1顆到下邊，然後將下邊的角落移動1顆到右邊，因此我們有以下的表格。

| 各邊總和\動作 | 放新的1顆進去 | 移動1顆到旁邊 |
|:-------------:|:-------------:|:-------------:|
| 上 | 8 | 8 |
| 左 | 8 | 8 |
| 下 | 9 | 8 |
| 右 | 8 | 8 |

注意：一次操作就是**放新的1顆進去** + **移動1顆到旁邊**。

同時觀察全部種子的個數，操作前種子共有22顆，操作完後變成23顆（有點廢話哈哈）。

從表格可以發現，下邊的種子在操作過程中有增加1顆，接著又少1顆而抵消，用一樣的方式去記錄影片後片的操作，會發現全部都是只有一邊先增加1顆，然後又少1顆而抵消，但全部種子的數量在最後就變成28顆，是有增加的沒錯。

**所以每次操作都會遵守只有一邊增加1顆，然後又減少1顆的模式。**

那麼要怎麼移動才會遵守這樣的模式呢？第一步是希望放新的1顆只增加一邊的總和，那方法就會是**放在中間的格子上**，換句話說就是避開角落，也就是正方形的頂點。接著第二步又該如何移動才能把增加的1顆抵銷呢？

如果在同一邊上移動，那它的總和就不會改變，但是若移動的格子是正方形頂點，那雖然不會改變這一邊的總和，卻會使該頂點的另一邊少1顆。因此第二步可以從原先放種子的那一邊的端點格子中取1顆移動到另一邊的格子。但是由於我們的目的只是抵銷增加的1顆，所以在移動時也需要避開正方形頂點，才不會又增加到別條邊的總和。

總結來說，只要遵守兩個動作就可以達成放新的種子進去但每一邊總和仍然不變的效果。

1. 放新的1顆種子到正方形任一邊的格子上，且避開頂點。
2. 從放種子的那一邊的任一頂點格子中，取1顆移動到該頂點的另一邊，並且避開頂點。

### 問題挑戰
瞭解了這個魔術原理後，這裡提供一個我產生好奇的問題給大家：

>影片中小女孩最多可以放幾顆種子進去，但每一邊總和都還是8呢？

我的想法是，經觀察後發現，每次操作都會減少一顆頂點的種子，當頂點的種子都被移走後，若再多放一顆種子進去，不管將多一顆的那一邊如何移動，都無法抵消多出來的這一顆，一定會有至少一邊總和超過8。

在這支影片中，小女孩放在頂點的數量總共有10顆（3+2+3+2），也就是說她可以放入最多10顆種子進去，都還能符合每一邊總和都為8這個條件。不過如果論魔術的效果，我認為頂點還留著種子是一種障眼法，讓人很難一眼看出來種子數量有變多。

從前面的討論可以更進一步思考，如果想要增加在維持每邊8顆的情況下最多可放入的種子數，就需要增加一開始放在頂點的種子，而我們就可以提出這樣的問題：

>在每邊都是8顆的情況下，最多可以再放幾顆種子進去呢？

這題我的想法是，要讓頂點有最多顆的方法就是將8顆通通放在頂點上，也就是說，將8拆成兩個正整數相加，並且我們會發現，四個頂點會產生兩組這樣的數字。舉例來說，若某一個頂點放6顆，則與它相鄰的兩個頂點一定是2顆，剩下對角的頂點則同樣是6顆，四個頂點總共產生兩組 6+2 。

回到我們的問題，由此可知，每邊都8顆的情況下，頂點最多可放入16顆種子，而且擺放情形會呈現以正方形對角線為對稱的現象。

我們更可以推廣到以下結論：

>在每邊都是 n 顆的情況下，最多可以再放 2n 顆種子進去。

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（後續更新）
最後我們還可以換個角度來說，在每邊都是8顆的條件下，全部放在頂點會是總顆數最少的情形，一共會有16顆。全部放在中間非頂點的格子上會是總顆數最多的情形，一共會有32顆。

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