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# System prepended metadata

title: Operationsverstärker
tags: [Lüdtke]

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###### tags: `Lüdtke`
# Operationsverstärker

### Grundannahmen
- hoher Eingangswiderstand
- niedriger Ausgangswiderstand
- $U_D = 0V$
- verstärkt Eingang mit dem höheren Potenzial

### Rückkopplungen:

| Gegenkopplung             | Mitkopplung |
| ------------------------- | ----------- |
| gegenphasige Rückkopplung | gleichphasige Rückkopplung |
| Rückkopplung auf den invertierenden Eingang|Rückkopplung auf den nichtinvertierenden Eingang|
| begrenzt die Verstärkung | maximale Versorgungsspannung|
|z.B. Verstärker|z.B. Schmitt-Trigger|

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## Invertierender Verstärker

![](https://i.imgur.com/gBD8BmN.jpg)

- Gegenkopplung auf den invertierenden Eingang 
    - V wird beschränkt
- $U_e$ am invertierenden Eingang
- nicht-invertierender Eingang auf Masse

$$ V = \frac {R_k}{R_e} = -\frac{U_a}{U_e} $$
$$ U_a = -U_e \cdot \frac {R_k}{R_e} $$
$$ U_e = U_{R_e} $$
$$ U_a = -U_{R_k} $$

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## Nichtinvertierender Verstärker

![](https://i.imgur.com/X2emLep.jpg)

- Gegenkopplung auf den invertierenden Eingang 
    - V wird beschränkt
- $U_e$ am nichtinvertierenden Eingang
- invertierender Eingang auf Masse (über $R_e$)

$$ V = \frac{U_a}{U_e} = \frac {R_k}{R_e} +1 = \frac {U_{R_k}}{U_{R_e}} +1$$ 
$$ U_a = U_e \cdot (\frac {R_k}{R_e} +1)$$
$$ U_a = U_{R_e} $$
$$ U_e = U_{R_e} + U_{R_K} $$

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## Invertierender Schmitt-Trigger

![](https://i.imgur.com/yOxYQjv.jpg)

- Mitkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang 
    - $U_a$ wirkt verstärkend
- nicht-invertierender Eingang auf Masse (über Widerstand)
- $U_e$ am invertierenden Eingang
- $V = ∞$
- Anwendung: Dämmerungsschalter, Temperaturwächter

$$ -U_a = V (U_i-U_{ni}) $$
$$ U_{An} = -U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2}$$
$$ U_{Ab} = U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2}$$
$$ U_{Hy} = 2\cdot U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_1+R_2}$$
$$ U_{Hy} = U_{Ab} - U_{An}$$

![](https://i.imgur.com/eOkgytV.jpg)
![](https://i.imgur.com/Ovh1wuH.jpg)

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## Nichtinvertierender Schmitt-Trigger

![](https://i.imgur.com/YqxEhL4.jpg)

- Mitkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang 
    - $U_a$ wirkt verstärkend
- $U_e$ am nicht-invertierenden Eingang
- invertierender Eingang auf Masse
- $V = ∞$
- Anwendung: Dämmerungsschalter, Temperaturwächter

$$ U_a = V (-U_i-U_{ni}) $$
$$ U_{An} = U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_2}$$
$$ U_{Ab} = -U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_2}$$
$$ U_{Hy} = 2\cdot U_{aMax} \cdot \frac {R_1}{R_2}$$
$$ U_{Hy} = U_{An} - U_{Ab}$$

![](https://i.imgur.com/k0dcIa7.jpg)
![](https://i.imgur.com/Ci7aUi7.jpg)

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## Komparator

![](https://i.imgur.com/QPYopEA.jpg)

- Spannungsvergleicher
- unbekannte Spannung $U_x$ wird mit einer fest eingestellten Spannung $U_{ref}$ verglichen
- je nachdem, welcher Eingang das größere Potenzial hat, wird dieser verstärkt und $U_a$ hat das entsprechende Vorzeichen
- V = ∞

![](https://i.imgur.com/vXt4r8k.jpg)

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## Impedanzwandler

![](https://i.imgur.com/obEO9tR.jpg)

- hoher Eingangswiderstand
- niedriger Ausgangswiderstand
    - Der Impedanzwandler formt den hohen Innenwiderstand einer Signalquelle in einen kleinen Widerstand um
- $R_k = 0$ (nicht vorhanden)
- $R_Q = ∞$ (ist offen)
- $V = 1$
- Anwendung: Signalquelle entlasten
$$ V = 1 + \frac {R_K}{R_Q} = 1 $$

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## Astabile Kippstufe

![](https://i.imgur.com/yy3accl.jpg)

Ablauf:
- $C_1$ ist entladen, $U_2$ ist maximal positiv
- $C_1$ wird über $R_3$ geladen (damit steigt das Potenzial am invertierenden Eingang)
- Kurz nachdem $U_1 = U_{R_2}$ ist, kippt die Schaltung und $U_2$ wird maximal negativ $(-U_B)$
- $C_1$ wird entladen und dann negativ geladen
- Schaltung kippt erneut, kurz nachdem $U_D = 0$ ist -> $U_2$ ist maximal positiv $(+U_B)$
- $C_1$ wird entladen und dann positiv geladen (s.o.)
    - Anwendung: Blinkschaltungen, Erzeugen von Rechteckspannungen

| Frequenz geringer, wenn | Frequenz größer, wenn |
| ----------------------- | --------------------- |
| $R_3$ größer|$R_3$ kleiner|
| $C_1$ größer|$C_1$ kleiner|
| $R_2$ größer / $R_1$ kleiner|$R_2$ kleiner / $R_1$ größer|

$$ R_3 = \frac {R_2 \cdot R_1}{R_2 + R_1} $$
$$ T = \frac {1}{f} = 2R_3C_1ln(1+ \frac {2R_1}{R_2}) $$
$$ T = ti + tp $$

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## Monostabile Kippstufe

![](https://i.imgur.com/cO8MpjV.jpg)

Ablauf:
- $U_2$ positiv, $C_1$ auf 0,7V geladen (wegen $R_6$)
- stabiler Zustand 
    - Potenzial am nichtinvertierenden Eingang höher als am invertierenden
- Schaltung kippt durch einen negativen (wegen $R_5$) Impuls (wegen Hochpass von $C_2$ und $R_4$) an $U_1$, der das Potenzial am nicht-invertierenden Eingang herunterzieht
    - $U_2$ wird negativ $(-U_B)$
- $C_1$ wird entladen und negativ geladen
    - Sobald das Potenzial am invertierenden Eingang unter das Potenzial am nicht-invertierenden Eingang gefallen ist, schaltet der OP um auf $+U_B$ an $U_2$
        - stabiler Zustand (s.o.)
- Anwendung: Impulsgeber, Impulsformer

![](https://i.imgur.com/HePB8Wy.jpg)
Impulsdauer ti:
$$ ti = R_3C_1ln(1+\frac {R_2}{R_1}) $$

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## Summenverstärker

![](https://i.imgur.com/IwoZ4xR.jpg)

- Gegenkopplung 
    - V wird beschränkt
- $U_a$ ist gegenüber $U_e$ um 180° phasenverschoben, bzw. invertiert
- wird $R_k$ vergrößert, wird $U_a$ größer
- mit Hilfe von $R_{e1}$ und $R_{e2}$ können die Eingangsspannungen gewichtet werden; wird z.B. $R_{e1}$ verkleinert, erhält $U_{e1}$ eine größere Bedeutung im Ausgangssignal
- Anwendung: Messtechnik, Digital-Analog-Umsetzer

>>Kirchhoff 1:
$I_{e1} + I_{e2} + I_{e3} = I_1 = 0$
$I_{e1} + I_{e2} = - I_k$

>>ist das Gleiche wie:
$I_{e1} = \frac {U_{e1}}{R_{e1}}$
$I_{e2} = \frac {U_{e2}}{R_{e2}}$
$I_K = \frac {U_a}{R_k}$

>> Ersetzen:
$-\frac {U_a}{R_k} = \frac {U_{e1}}{R_{e1}} + \frac {U_{e2}}{R_{e2}} | \cdot -R_k$
$U_a = -R_k (\frac{U_{e1}}{R_{e1}} + \frac{U_{e2}}{R_{e2}})$

$$ -U_a = \frac {R_k}{R_{e1}} \cdot U_{e1} + \frac {R_k}{R_{e2}} \cdot U_{e2} ...$$
Für $R_{e1} = R_{e2} = R_{e3}$ ...
$$ -U_a = \frac {R_k}{R_{e1}}\cdot(U_{e1} + U_{e2} + U_{e3}...) $$
Für $R_k = R_{e1} = R_{e2}$ ...
$$ -U_a = U_{e1} + U_{e2} + U_{e3} ...$$

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## Differenzverstärker

![](https://i.imgur.com/hkGuKnc.jpg)

- Gegenkopplung
    - V wird beschränkt
- Aufbau: invertierender und nicht-invertierender Verstärker
- $U_{e_2} = 0V$
    - $R_1$ und $R_2$ weglassen, sodass am nichtinvertierenden Eingang 0V anliegen
        - invertierender Verstärker

- $U_{e_1} = 0V$
    - $R_e$ nach unten zeichnen, $R_1$ und $R_2$ werden weggelassen
        - nichtinvertierender Verstärker
        
Annahme: Der Differenzverstärker soll die Differenz von den beiden Eingangssignalen immer gleich verstärken, also $R_e = R_k -> V = 1$

Fall 1:
$U_{e1} = -1V; U_{e2} = 0V; U_{e2} - U_{e1} = 1V$

$$ U_a = U_e \cdot (-\frac{R_k}{R_e}) = 1V $$

Fall 2:
$U_{e1} = 0V; U_{e2} = 1V; U_{e2} - U_{e1} = 1V$

$$ U_e = (\frac{R_k}{R_e} + 1) = 2V $$

Widerspruch zwischen Fall 1 und Fall 2, daher **Bestimmung von $R_1$ und $R_2$**.
Ziel ist es, die verschiedenen Verstärkungsfaktoren vom invertierenden und nichtinvertierenden Verstärker auszugleichen, also $V_1 + V_2 = 0$.

Annahmen:

$V1 = -\frac{R_k}{R_e}$
$V2 = \frac{R_k}{R_e} +1$
$Spannungsteiler = \frac {R_2}{R_1+R_2}$

Bestimmung: 

$$ V_1 + V_2 = 0 $$
$-\frac{R_k}{R_e} + (\frac{R_k}{R_e} +1) \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} = 0$

$-\frac{R_k}{R_e} + \frac{R_k + R_e}{R_e} \cdot \frac {R_2}{R_1+R_2} = 0 | : \frac{R_k + R_e}{R_e}$

$-\frac{R_k}{R_e} \cdot \frac{R_e}{R_k + R_e} + \frac {R_2}{R_1+R_2} = 0 | -\frac {R_2}{R_1+R_2}$

$-\frac{R_k}{R_e} \cdot \frac{R_e}{R_k + R_e} = -\frac {R_2}{R_1+R_2}$

$-\frac{R_k}{R_k + R_e} = -\frac {R_2}{R_1+R_2} | \cdot(-1)$

$$ \frac{R_k}{R_k + R_e} = \frac {R_2}{R_1+R_2} $$

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## Differenzierer

Ein Differenzierer liefert ein Ausgangssignal, das der zeitlichen Änderung der Eingangsspannung proportional ist (proportional zur Steigung der Eingangsspannung, invertiert). Das Ausgangssignal hängt von der Steigung der Eingangsspannung ab. 

![](https://i.imgur.com/DkA81KL.jpg)

- Gegenkopplung
    - Verstärkerschaltung
- Ausgangsspannung proportional zur Steigung der Eingangsspannung

### Spannungsverlauf im Detail

![](https://i.imgur.com/9mTr792.jpg) 

- Steigung des Eingangssignals berechnen mit $\frac{Δy}{Δx}$
- Steigung als Ausgangsspannung eintragen, invertiert!

### Schlussfolgerungen:
- Die Ausgangsspannung ist nur dann ungleich 0, wenn sich die Eingangsspannung ändert.
- Je größer die Steigung der Eingangssg, desto größer die Ausgangsspannung (invertiert).
- Die Größe der Nadelimpulse wird begrenzt durch die Versorgungsspannung.

### Formeln

$$ U_a = -R_k \cdot R_e \cdot \frac{ΔU_e}{Δt} $$
$$ |U_a| = \frac{1}{2π \cdot f \cdot R \cdot C} \cdot ΔU_e$$

## Integrierer

Ein Integrierer liefert ein Ausgangssignal, dessen zeitliche Änderung proportional zur Eingangsspannung ist. Eine konstante Spannung am Eingang führt zu einer sich zeitlich ändernden Ausgangsspannung (invertiert).

- Gegenkopplung
    - Verstärkerschaltung
- die zeitliche Änderung des Ausgangssignals ist proportional zur Eingangsspannung

### Spannungsverlauf im Detail

![](https://i.imgur.com/G3JDMQg.png)

- für einen Abschnitt das Integral (die Fläche unter dem Graphen)/die Ableitung bestimmen
- als Abschnitt bei $U_a$ eintragen, invertiert!
- bei neuem Abschnitt an den bisherigen Graphen anschließen

### Formeln

$$ ΔU_a = -\frac{U_e}{R \cdot C} \cdot Δt $$
$$ |U_a| = \frac{1}{2π \cdot f \cdot R \cdot C} - |U_e|$$
