<style> .reveal .slides { text-align: left; font-size:30px; } </style> ## Prefix Sum & Difference Array & Two Pointer 2025/11/17 ---- * 前綴和 * 差分 * 雙指針 --- ## 前綴和、差分 ---- #### 一維前綴和 序列 $A_1, A_2,...,A_n$ 的長度為 $i$ 的前綴和記為 $S_i$ 而 $S_0$ =0，可以用來計算區間和。 $\sum\limits_{i = l}^r {A_i = S_r -S_{l-1}}$ 可以簡單理解為前 $i$ 項的和，而求 $l\sim r$ 的區間和自然就是$S_r-S_{l-1}$ ---- #### 二維前綴和 多維前綴和的構造方式與一維相同，主要是求區間和時要利用容斥原理 如何構造 矩陣 sum? $sum_{r,c}=\sum\limits_{i = 1}^r \sum\limits_{j = 1}^c {arr_{i,j}}$ 遞推求 sum 的過程為(容斥原理): $sum_{i,j} = sum_{i-1,j} + sum_{i,j-1} - sum_{i-1,j-1} + arr_{i,j}$ ---- ### 如何應用 求子矩陣 ($r_1 , c_1$)~($r_2 , c_2$) 的和。 由遞推的算式可得 ($r_1 , c_1$)~($r_2 , c_2$) 的區間和為: $ans = sum_{r_2,c_2} - sum_{r_1-1,c_2} - sum_{r_2,c_1-1} + sum_{r_1-1,c_1-1}$ ---- 圖例: $sum_{r_2,c_2} - sum_{r_1-1,c_2} - sum_{r_2,c_1-1} + sum_{r_1-1,c_1-1}$  ---- ### 例題： 對一段長度為 $n$ 的區間，做出 $q$ 筆詢問 *詢問內容為區間和 * subtask 1: $n\cdot q \le 10^8$ * subtask 2: $n \le 10^2,\ q \le 10^8$ * subtask 3: $n \le 10^6,\ q \le 10^8$ ---- ### subtask 1: $n*q \le 10^8$ 每次詢問就遍例一次，直接暴力加法 ```cpp= for(int i=1;i<=q;i++){ int l,r,ans=0; cin>>l>>r; for(int j=l;j<=r;j++){ ans+=arr[j]; } cout<<ans<<"\n"; } ``` 最差情況 : $q$ 次詢問都是求 $sum_{1,n}$ 因此你每次都需要遍例 $1~n$，則時間複雜度為 $O(q\cdot n)$ ---- ### subtask 2: $n \le 10^2,\ q \le 10^8$ 開 $10^2\cdot 10^2$ 的陣列，$sum[i][j]$ 紀錄 $i \sim j$ 的總和是多少 $q$ 筆詢問即可 $O(1)$ 解決掉 因此時間複雜度為 $O(n^2+q)$ ---- ### subtask 3: $n \le 10^6,\ q \le 10^8$ 開 $10^6$ 的陣列， $sum[i]$ 紀錄 $i$ 的前綴和是多少 $q$ 筆詢問即可 $O(1)$ 解決掉 因此時間複雜度為 $O(n + q)$ ```cpp= int n,l,r,q; int arr[N]={},sum[N]={}; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>arr[i]; sum[i]=sum[i-1]+arr[i]; } cin>>q; for(int i=1;i<=q;i++){ cin>>l>>r; cout<<sum[r]-sum[l-1]<<"\n"; } ``` --- ## 差分 ---- ### 差分的構造 差分是一種和前綴和相對的策略，可以當做是求和的逆運算。 $f_{i} = arr_{i} - arr_{i-1}$ , $f_{1} = arr_{1}$ ```cpp= ex: arr[] = 1 10 5 -3 9 f[] = 1 9 -5 -8 12 ``` 同時不難發現，$arr_{i}$ 的值是 $f_{i}$ 的前綴和 ---- ## 計算區間和 若要利用 $f$ 計算 arr 的前綴和 $sum_{1,n} = \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^i {f_j}=\sum\limits_{i = 1}^n (n-i+1)\cdot f_{i}$ ## 以及修改區間值 若要在 $arr_l$ ~ $arr_r$ 都加上 $x$ 只需要修改 $f_l$ 和 $f_{r+1}$ 的值 ```cpp= f[l] += x; f[r+1] -= x; ``` ---- ### 例題： 對一段長度為 $n$ 的區間，提出 $k$ 次區間修改後詢問你一次結果 * subtask 1: $n\cdot k \le 10^8$ * subtask 2: $n \le 10^6,k \le 10^8$ ---- ### subtask 1: $n\cdot k \le 10^8$ 一樣直接暴力做，這邊就不贅述 ---- ### subtask 2: $n \le 10^6,\ k \le 10^8$ ```cpp= int n,l,r,k,x; int arr[N]={},f[N]={}; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>arr[i]; f[i]=arr[i]-arr[i-1]; } cin>>k; for(int i=1;i<=k;i++){ cin>>l>>r>>x; f[r+1]-=x,f[l]+=x; } ``` --- 前綴和是在非常多的題目都會用到的優化方式，也是一個簡單實用的技巧，請大家一定要時時刻刻想到前綴和。 另外 鑒於 xor 的性質(交換律)，xor 也可以拿來進行前綴和。 而差分雖然不常用到，但卻是針對某些題目時好用的工具。 --- ## 雙指針 --- two pointers 雙指針顧名思義，就是同時使用兩個指針，在序列、串列結構上指向的是位置，在樹、圖等資料結構結構中指向的是節點，通過邊或同向移動，或相向移動來維護、計算要求的資訊。 通過快指針以及慢指針(左指針和右指針)的移動去限制可選擇的區塊。 ---- ### 頭尾固定的雙指針 --- sliding window ---- ### 例題：[sliding windows maxmium](https://leetcode.com/problems/sliding-window-maximum/) 詢問每個大小為 $k$ 的 sliding windows (區間) 的最大值 $-10^4 \le a_i \le 10^4$ ---- 用 multiset 維護 sliding windows 內的數字 ---- 程式碼： ```cpp= vector<int> ret; multiset<int> st; for(int i = 0; i < k; i++) { st.insert(nums[i]); } ret.push_back(*(st.rbegin())); for(int i = k; i < nums.size(); i++) { st.insert(nums[i]); st.erase(st.find(nums[i - k])); ret.push_back(*(st.rbegin())); } return ret; ``` ---- 也可以丟進 priority_queue 裡面(存 pair(value,index))， 每次查找最大值，檢查 index 是否是符合條件的， 若不符合就 pop 掉直到找到就好。 ---- ### 例題： 給一個長度為 $n$、由非負整數組成的陣列 $a$，在 $\sum\limits^r_{i = l}a_i \le S$ 的情況下，最大化 $r - l$。 ---- 雙指針維護左界跟右界，被左界跟右界框起來的區域就是我們想要的，但是左界跟右界要怎麼移動呢？ ---- 每次將右界向右移動一格，並當總和超過 $S$ 時，將左界也向右移動。 ---- $S = 20$，初始化時，沒有包含任何區間。  ---- $l = 1, r = 1, sum \le 20, r++$  ---- $l = 1, r = 2, sum \le 20, r++$  ---- $l = 1, r = 3, sum \le 20, r++$  ---- $l = 1, r = 4, sum \le 20, r++$  ---- $l = 1, r = 5, sum > 20, l++$  ---- $l = 2, r = 5, sum \le 20, r++$  ---- $l = 2, r = 6, sum > 20, l++$  ---- $l = 3, r = 6, sum > 20, l++$  ---- $l = 4, r = 6, sum \le 20, r++$  ---- $l = 4, r = 7, sum > 20, l++$  ---- $l = 5, r = 7, sum > 20, l++$  ---- 結束了  ---- $l$ 和 $r$ 最多只會移動 $n$ 步，複雜度 $O(n)$ ---- 程式碼： ```cpp= for(int i = 0; i < n; i++) { sum += arr[i]; while(sum > s) { sum -= arr[l]; l++; } ans = max(ans, i - l + 1); } ``` ---- ### 改變一下問題 給一個長度為 $n$、由非負整數組成的陣列 $a$ 有幾組 pair $(l、r)$，符合 $\sum\limits^r_{i = l}a_i \le S$ ---- 再觀察一下上一題 對 $r = 4$ 來說， $l = 1, 2, 3, 4$ 都符合 $\sum\limits^r_{i = l}a_i \le S$  ---- 因此本題就是在上一題的基礎上，對每個右界計算有幾個左界可以符合條件。 ---- 程式碼： ```cpp= for(int i = 0; i < n; i++) { sum += arr[i]; while(sum > s) { sum -= arr[l]; l++; } ans += (i - l + 1); } ``` ---- 遇到一個問題時，如果他是要求最好的區間或者是有幾個區間符合條件時，就可以考慮雙指針，至於指針要放哪，就要看題目而定了。 ---- ### 例題：[Container With Most Water](https://leetcode.com/problems/container-with-most-water/) 給一個為 $n$ 的陣列 $arr$ $a_i$ 代表在 $x = i$ 的位置有高度為 $a_i$ 的垂直線， 選兩個位置 $i、j$ 且 $i < j$，計算 $\text{min}(a_i, a_j)\times (j - i)$ 的最大值 ---- ### 做法二： 一開始先將指針放在最左邊跟最右邊，並比較兩邊的值，將值較小的指針往中間移，因為對這個指針來說，另外一邊的指針移動對答案是沒有貢獻的 ---- ### 程式碼： ```cpp= int maxa = 0; int l = 0, r = n - 1; while(l < r) { maxa = max(maxa, (r - l) * min(arr[l], arr[r])); if(arr[l] < arr[r]) { l++; } else r--; } ``` --- ## 練習 & 問問題時間