# Subgroups, Cosets and Lagrange's Theorem 子群、陪集、拉格朗日定理
在集合論中，我們有子集的概念，那在群論中，是否有些集合的子集也可以沿襲原本集合的結構而形成群呢?
## Subgroups 子群
### 定義:子群
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**Def: subgroup**
設$(G, \star)$是個群，若有個$H \subset G$滿足下列三條(也就是群公理第1,3,4條)，則稱$(H, \star)$是$(G, \star)$的子群，記作$H \leq G$
**1.** $e \in H$
**2.** $x,y \in H \Rightarrow x \star y \in H$
**3.** $x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H$
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既然$H,G$用的是同一種運算，那麼identity當然也會一樣
而且結合律當然也會沿襲自$G$
**例:** 若$m \in \mathbb{Z}$，則$m\mathbb{Z} := \{mk|k \in \mathbb{Z}\}$是$(\mathbb{Z}, +)$的子群
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**子群小性質**
$$H \leq G \land K \leq G \Rightarrow H \cap K \leq G$$
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**proof:**
(1) $e \in H \land e \in K \Rightarrow e \in H \cap K$
(2) $x,y \in H \cap K \Rightarrow x \star y \in H \land x \star y \in K \Rightarrow x \star y \in H \cap K$
(3) $x \in H \cap K \Rightarrow x^{-1} \in H \land x^{-1} \in K \Rightarrow x^{-1} \in H \cap K$

## Cosets 陪集
### 定義:陪集
:::info
**Def: (left)coset**
設$(G, \star)$是個群，$H \leq G, g \in G$
定義$g$對$H$作的(左)陪集:
$$gH := \{ g \star h|h \in H \}$$
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陪集的概念可以先從整數上的例子來看，$n \mathbb{Z} := \{ nk|k \in \mathbb{Z} \}$，很簡單看出它裡面的每個元素都對$n$同餘，這就給我們一種感覺說:陪集會不會是一種蒐集相似東西的集合?
:::danger
**Cosets are equiv. classes 陪集為等價類**
$G$上每個子群$H$都給出一種等價關係，由陪集定義:
$$f \sim g : fH = gH$$
或等價的(更常用)
$$f \sim g : f^{-1} \star g \in H$$
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證明一個關係是等價關係需要證明三條性質，先證下面那種定義滿足等價關係:
(1) $g^{-1} \star g = e (\in H)$，故$g \sim g$
(2) $x \sim y : x^{-1} \star y \in H \Rightarrow (x^{-1} \star y )^{-1} = y^{-1} \star x \in H$，故$y \sim x$
(3) $a \sim b \land b \sim c : a^{-1} \star b \in H \land b^{-1} \star c \in H \Rightarrow a^{-1} \star b \star b^{-1} \star c = a ^{-1} \star c \in H$，故$a \sim c$
再證兩種定義是等價的:
(1) $f^{-1} \star g \in H \Rightarrow fH =gH$
令$f^{-1} \star g = h$，則$f =g \star h$，那右邊乘上$H$的元素時還是會在$H$內，所以$fH=gH \square$
(2) $fH=gH \Rightarrow f^{-1} \star g \in H$
$fH=gH : \forall f \star h_1, \ \exists ! g \star h_2[f \star h_1 = g \star h_2]$
$\Rightarrow f^{-1} \star g = h_1 \star h_2^{-1} \in H \square$

所以每個$H \leq G$可以做出一個商集$G/H$收集所有$g \in G$對$H$做出的陪集。

那麼，根據等價關係基本定理，每個子群都會給出一個$G$的分割，但每個子群構成不同的分割，分出的數量也不同
### 定義:指標
:::info
**Def: index of subgroup**
設$H \leq G$，定義$H$對於$G$的 **指標(index)** 為$H$對$G$作出的陪集數量，記作$(G:H)$
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所以$(G:H)$其實就是商集$G/H$的大小。
而如果$G/H$是有限集，則稱$H$在$G$中有有限指標。

而且對固定的$H$來說，$gH$事實上就是$g$在上面那種等價關係下的等價類，所以根據我們在<a href="https://hackmd.io/@LeFxi/equivalence_relation">等價關係</a>中的**Lemma 1.2.2**，我們有對於任意的$p \neq q \in G$，$pH=qH \lor pH \cap qH = \emptyset$

給出等價關係後可能元素的數量相對就變少了，因為等價的元素會被看作一樣。

那會不會有元素不在陪集中呢?
不會。因為$e \in H \Rightarrow \forall g \in G, g \star e = g \in gH$
所以我們對有限指標的子群$H \leq G$，可以寫出
$$
G=\bigsqcup_{i=1}^ng_iH
\\
n=(G:H)
$$

接下來要介紹的是有限群論中相當重要的定理

## Lagrange's theorem 拉格朗日定理
首先我們觀察一個映射
$$\phi : gH \longrightarrow H$$
而$\phi(gh)=h$