# Groups 群
接下來介紹群，抽象代數的濫觴。群其實就是多了一點規則的集合，但是這便足夠我們討論許多的性質了。
## Group axioms 群公理
### 定義: 二元運算
:::info
**Def: binary operations**
$G$是一個集合，函數 $$\star: G \times G \rightarrow G$$
被稱作一個二元運算
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通常討論時我們會將集合跟運算寫在一起，如$(G, \star)$
而作運算時也通常會寫成$g \star g'$ 而非 $\star(g, g')$
### 群公理(基本定義)
:::success
一個集合和運算: $(G, \star)$如果滿足下列條件:
**1. 封閉性 Closed**
$$\forall g, g' \in G, g \star g' \in G$$
**2. 結合性 Associativity**
$$\forall f,g,h \in G, f \star (g \star h) = (f \star g) \star h$$
**3. 單位元素 Existence of identity**
$$\exists e \in G[\forall g \in G, g \star e = e \star g = g]$$
**4. 反元素 Existence of inverse**
$$\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G[g \star g^{-1} = g^{-1} \star g = e]$$
就稱$(G, \star)$為一個群

而且由上面的定義我們也可以得到另一個性質

- **消去律(左) Cancellative(left)**
$$\forall g,h,k \in G[g \star h = g \star k \Rightarrow h=k]$$
證明方法只要在左邊乘上反元素就好了
當然也有右消去律，證明方法類似
或者考慮一個映射
$$\times: (a,b) \mapsto b \star a$$
那麼$(G, \times)$也會是個群，所以自然有左消去，同時這個左消去正好是$(G, \star)$的右消去
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非常重要的要注意到的一件事就是==並不是所有群都可以交換!==
i.e. 不是對所有的矩陣$A,B$而言$AB = BA$
**例子:**
1. $(\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +),(\mathbb{Z}- \{0\}, \times)$都是群，但是$(\mathbb{N}, +), (\mathbb{Z}, \times)$不是 (為甚麼?)
2. 任何只有一個元素的集合都可以形成群，稱之為平凡群
3. 只滿足前三條而不滿足第四條的我們稱之為么半群
4. $n \times n$可逆矩陣配上矩陣乘法也是群

然後通常在不影響文意、運算明確的情況下，我們會把$(G, \star)$是個群簡寫成$G$是個群。
### 定義:阿貝爾群
:::info
**Def: Abelian groups**
如果一個群$(G, \star)$它是可交換的:
$$\forall a,b \in G, a \star b=b \star a$$
則稱它是個阿貝爾群
:::
最簡單的例子就是$(\mathbb{Z}, +)$

而關於單位、反元素有個小性質
:::danger
**1.** 若單位元存在則它唯一
**2.** 若反元素存在則它唯一
:::
**proof:**
1. 假設$G$有兩個單位元$e_1, e_2$, 則$e_1 \star e_2 = e_1 ,$且 $e_2 \star e_1 = e_2$, 故$e_1=e_2$
2. 假設$g$有兩個反元素$t_1, t_2$,則 $g \star t_1 = e = g \star t_2$, 所以 $t_1 = t_2$

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## 同態 Homomorphism

在群與群之間，我們常常能夠看到一些相似的結構，我們就用一些映射來建立這些結構的概念。
### 定義:同態
:::info
**Def: Homomorphism, endo. , iso. , aut.**
$(G, \star),(H, \times)$是兩個群
$$f:G \rightarrow H$$被稱做一個同態若
$$\forall g_1,g_2 \in G[f(g_1 \star g_2)=f(g_1) \times f(g_2)]$$

- 如果$f$是$G \rightarrow G$自己的同態，就稱他為一個**內同態(endomorphism)**
- 如果一個同態同時是雙射的，就稱他為一個**同構(isomorphism)**
- 如果一個內同態同時也是同構，就稱他為一個**自同構(automorphism)**
:::
直覺上來說，同態就是一種「保持結構」的函數，而事實上也確實是。
對於可以建立同態在之間的兩個群我們很直觀的會感覺他們的結構是相似的，畢竟運算再映射跟映射在運算的結果是一樣的。
而==兩個群之間如果能建立一個同構映射，就稱他們兩個互相*同構*==(isomorphisms exist between isomorphic groups)
同構是群論中最強的相似條件，兩個群同構代表我們在群的範疇中根本可以把他們看成同一個物件。

而對於一個群$G$，定義他的自同構群$(Aut(G), \circ)$為: 收集所有他的自同構形成集合$Aut(G)$，然後配上函數複合運算。很簡單可以確認這個組合滿足群公理，而可以拿來做甚麼呢?那就是之後galois在做的事了。
而有同態之後自然有一些關於他的性質。

::: danger
**同態的重要基本性質**
設$(G, \star), (H, \times)$是兩個群，$f: G \rightarrow H$是個同態，則
**1.** $f(e_G)=e_H$
**2.** $\forall g \in G,f(g^{-1})=(f(g))^{-1}$
:::
**proof:**
(1) $f(e_G)\times e_H =f(e_G)=f(e_G \star e_G)=f(e_G) \times f(e_G)$
由$H$的消去律得證
(2) $f(g \star g^{-1})=f(e_G)=e_H$，又$f(g \star g^{-1}) = f(g) \times f(g^{-1})$
在左右乘上$(f(g))^{-1}$就得證了
:::danger
**同態合成的封閉性**
設$G,H,I$是群，有$f_1: G \rightarrow H$, $f_2: H \rightarrow I$皆是同態，那麼
$$f_2 \circ f_1$$
也是同態
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**proof:** 肉眼可見

:::danger
**Notation: power**
對於$g \in G$，定義他的$n(\in \mathbb{Z})$次方為
\begin{cases}
g^n \text{ (n times)} & \text{if $n>0$} \\
e & \text{if $n=0$} \\
(g^{-1})^{-n} & \text{if $n<0$}
\end{cases}
:::