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# TD3 Systèmes d'Information Numérique (SIN1)

## 1. Virgule fixe

### Exercice 1
Coder les nombres suivants codés en virgule fixe selon les 2 formats suivants 16Q10, 16Q3 :
- 1.529
- -1.529
- 52.18
- -28.1243

Calculer l'erreur de précision.

### Exercice 1-bis
Donner la valeur minimale et la valeur maximale qui peut être codée en virgule fixe avec les formats suivants:
- 8Q7
- 8Q5
- 15Q10
- 15Q2

Préciser également le niveau de précision (le pas le plus fin atteignable avec chaque format)

:::info
### :bulb: Rappel : somme des puissances
#### - Suite géométrique de raison 2
$1+ 2^1+2^2+2^3+...+2^n = 2^{n+1}-1$
<!--- #### - Suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
$1+ \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n} = \frac{2^{n+1}+1}{2^1}$
--->
:::

### Exercice 2
Décoder les nombres suivants codés en virgule fixe selon les 3 formats suivants 16Q12, 16Q10, 16Q3 :
- 0110110001111100
- 1011010100001101
- 0000011111000111

### Exercice 2-bis
Les données numérique ci-dessous correspondent à des nombres réels codés en virgule fixe avec le format 10Q9. Réécrire ces données en étendant leurs format à 16Q12 puis 20Q14.

- 0111001010
- 1011100100
- 1001110000

## 2. Virgule flottante

:::info
### :bulb: Rappel : Virgule flottante
- **La notation en virgule flottante** est différente de celle en virgule fixe. Pour cette notation, tout nombre flottant N est représenté de la manière suivante : $𝑵 = (−𝟏)^𝑺∗𝑴.2^{E}$
avec $S$ le bit de signe ($0$ pour + et $1$ pour -), $M$ la mantisse normalisé, et $E$ l’exposant réel.
- **Exemple en base 10** : $1.3254 = 13254*10^{-4}$
$M = 13254$ est la mantisse
$E = -4$ est l'exposant
$S = 0$ est le bit de signe
- Le nombre est ensuite normalisé pour qu'il ne reste qu'un seul chiffre avant la virgule :
Exemple : $x = 0.0433$ est écrit $x=4.33*10^{-2}$
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:::warning
### :warning: A ne pas oublier
- Le premier bit à 1 de la mantisse est implicite, il n'est donc pas codé.
- L'exposant codé est biaisé pour éviter d'avoir à écrire un exposant négatif : $E_b = E+biais$. Ex : pour coder l'exposant $E=-4$ avec un biais de 5, on écrira en binaire $-4+5 = 1$
:::
### Exercice 3

Quel est le domaine couvert si l'on utilise 2 bits de mantisse et 2 bits d'exposant ? Quel est le plus petit nombre strictement positif ? Et avec 4 bits de mantisse et 3 bits d'exposant ? Note : on prendra un $biais = 2$.

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### :bulb: Rappel : format IEEE-754
Le standard IEEE754 a permis d’uniformiser les multiples représentations possibles des nombres flottants. Les règles de codage sont les suivantes :


Attention, dans le codage IEEE 754, un biais de $127$ est utilisé.
:::

### Exercice 4

Décoder les nombres suivants codés avec le standard IEEE-754

- $00111111110000000000000000000000$
- $11000010001011001000000000000000$

### Exercice 5

Donner la représentation sur une machine utilisant le standard IEEE-754 des nombres suivants :
- 278 et -6,53125
- 432 et 3.14

::: info
:bulb: Convertisseur en ligne :
https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
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