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title: Goursat's Lemma
tags: [algebra, math]

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# Goursat's Lemma

###### tags: `math` `algebra`

![](https://i.imgur.com/51xgByK.png)
取自Serge Lang 的 Algebra.
## 證明

先證明$N$和$N'$分別在$G$和$G'$中是正規子群.

假設存在$(a,c),(b,c)\in H$，則$(ab^{-1},e'),(b^{-1}a,e')\in H$，其中$e'$是$G'$的單位元. 那麽$ab^{-1},b^{-1}a$就屬於$N=ker(p_2)$，既$a\in bN$和$a\in Nb$. 因此$N$是$G$的正規子群，相似的可以證明$N'$是$G'$的正規子群.


此時我們定義$\phi(a,b)\rightarrow (aN,bN')$，顯然這是同態，這時只要證明對於每個像的左分量都對應唯一一個右分量.
假設有$\phi(a,b)=(aN,bN')$和$\phi(a',b)=(a'N,bN')$，則$a(a')^{-1}\in N$，因此$aN=a'N$.
於是有$$G/N\cong G'/N'$$.

## 參考
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以下為Nathan Jacobson的Basic Algebra 1 2nd edition 的定義和定理可以直接得到$N$和$N'$分別在$G$和$G'$中是正規子群.

![](https://i.imgur.com/ZGfeH2Y.png)

若我們定義$a\equiv b$當且僅當$ab^{-1} \in ker(p_2)$，那麽可以驗證他是一個等價關係congruence relation），則利用如下定理可以證明$N$和$N'$分別是$G$和$G'$的正規子群.


![](https://i.imgur.com/LWcTmGr.png)
![](https://i.imgur.com/Oe5zuA2.png)
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[陶哲軒的相關文章](https://terrytao.wordpress.com/tag/goursat-lemma/)


