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# 线下辅导

### 分块矩阵的行列式计算

$$
\newcommand{\mat}[1]{
\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}
}
$$

你是不是想问，为什么
$$
\det\mat{A&0\\C&B}=\det(A)\det(B)
$$

我们先对 A invertible的时候来证，因为这个时候你可以做 Row transformation 把C消掉，请观赏

\begin{equation}
\begin{split}
\mat{A&0\\C&B}&=\mat{I&0\\0&I}^{-1}\mat{A&0\\C&B}\\\\
&=\mat{I&0\\-CA^{-1}&I}^{-1}\mat{A&0\\0&B}
\end{split}
\end{equation}

因此
$$
\det\mat{A&0\\C&B}=\det\mat{I&0\\-CA^{-1}&I}^{-1}\det\mat{A&0\\0&B}
$$

由于
$$
\det \mat{I&0\\-CA^{-1}&I}=1
$$

所以

$$
\det\mat{A&0\\C&B}=\det\mat{A&0\\0&B}=\det(A)\det(B)
$$

> 问题：为什么
$$
\det\mat{A&0\\0&B}=\det(A)\det(B)
$$

答:
$$
\mat{A&0\\0&B}=\mat{A&0\\0&I}\mat{I&0\\0&B}
$$

> 请问你知道为什么
> $$
> \det\mat{A&0\\0&I}=\det A
> $$
> 吗？

我来给你讲吧！

首先 如果你有一个 $n\times n$ 矩阵 A， 那你可以写一个 $(n+1)\times(n+1)$ 矩阵
$$
\mat{A&0\\0&1}
$$
这个矩阵的 determinant 和 A 一样，为什么呢？

形象来说，determinant 是在求体积，而$\det A$可以想成是 底面积 $A(\square)$，1想成是高，如果高=1，底面积和体积在数量上是一样的

### 数学理解

我用以下例子说明
$$
A=\mat{1&3\\2&8}
$$

想想你是怎么计算determinat 的

\begin{equation}
\begin{split}
\det A&=\det\mat{1&3\\2&8}\\\\
&=\det\mat{1&3\\0&2} \text{第二行 减 2倍第一行}\\\\
&=\det\mat{1&1\\0&2} \text{第一行 减 第二行}\\\\
&=2\det\mat{1&1\\0&1} \text{第二行 除以 2}\\\\
&=2\det\mat{1&0\\0&1} \text{第一行 减 第二行}\\\\
&=2
\end{split}
\end{equation}

再想想你是怎么计算 这个的

\begin{equation}
\begin{split}
\det \mat{A&0\\0&1}&=\det\mat{1&3&0\\2&8&0\\0&0&1}\\\\
&=\det\mat{1&3&0\\0&2&0\\0&0&1} \text{第二行 减 2倍第一行}\\\\
&=\det\mat{1&1&0\\0&2&0\\0&0&1} \text{第一行 减 第二行}\\\\
&=2\det\mat{1&1&0\\0&1&0\\0&0&1} \text{第二行 除以 2}\\\\
&=2\det\mat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \text{第一行 减 第二行}\\\\
&=2
\end{split}
\end{equation}

是不是一样的步骤？最后那个1不影响你，而且你做行列变换的时候丝毫碰不到第三行和第三列