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title: 半线性同态提升的唯一性.

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# 半线性同态提升的唯一性.

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这个小笔记用来说明 Semi-Linear endomorphism lifting 的uniqueness的。

### Semi-linear endomorphism
设R 是一个特征p的环，M是一个自由R 模，$\sigma$ 是 Frobenius Endomorphism. 我们记

$$
\sigma^* M = R\otimes_{R,\sigma} M
$$

这称为一个M 的 Frobenius pull back. 这里的元素其实就是满足对任何的$b\in R$, $ab^\sigma\otimes m=a\otimes bm$。

一个半线性的 Frobenius endomorphism $F$ 就是一个线性映射

$$
F:\sigma^*M\longrightarrow M
$$
在讨论 $\ker F$ 或者 $\mathrm{Im}\;F$时要特别注意，作为一个semi-linear 的 object是不能讨论kernel 和 image的。只能对linear 的元素讨论相关话题。

### Equivalence class of semi-linear endomorphism

两个Smilinear endomorphism 
$$
F_1,F_2:\sigma^* M\longrightarrow M
$$
称为等价的，如果存在一个 $R$-linear endomorphism 
$$l:M\longrightarrow M$$
使得 $F_1\circ\sigma^*l=F_2\circ l$

## Semi-Linear Endomorphism 的 extension.

现在我们来证明主要结论。
<div style="background:lightgreen">


**小定理** 设 $R'\longrightarrow R$ 是一个surjective。设其ideal 是 $\mathfrak a$ 且假设 
$$\mathfrak a\supset\ker(\mathrm{Frob_{R'}})$$

**那么 $R$上自由模的 Semi-linear endomorphism 结构可以在同构意义下唯一的extend 到 $R'$ 模上。**
</div>


这时我们canonically 有一个map 可以作为$\sigma$的extension

$$
\widetilde\sigma: R\longrightarrow R'
$$

使得Frobenius map $R'\longrightarrow R'$ factor through $\widetilde \sigma$


设 $M'$ 是 $R'$ 上的 module 且 $M=M'\otimes_{R'}R$。 那么我们其实有

$$
\sigma^*M'=\widetilde{\sigma}^* M
$$

因为我们事先有映射 $\sigma^* M\longrightarrow M$, 因此自然地作为$R'$-module 我们就有
$$\widetilde{\sigma}^*M\longrightarrow M$$

#### 存在性
因为我们有一个reduction 映射 $M'\longrightarrow M$。这个映射显然是个满射。因为M 是 projective 的所以一定存在一个$R'$-linear endomorphism 来lift 这个映射
$$
\widetilde{\sigma}^*M\longrightarrow M'
$$
存在性就证明了

#### 唯一性

我们假设现在有两个lifting
$$
F_1:\widetilde{\sigma}^*M\longrightarrow M'
$$

$$
F_2:\widetilde{\sigma}^*M\longrightarrow M'
$$

因此存在一个$R'$-linear endomorphism 
$$
l:M'\longrightarrow M'
$$
使得$l$在$M$的 reduction 是identity 且 $F_2=l\circ F_1$

因为 $l$ 在 $M$ 上 induced 的 map 是 identity，因此$$
\widetilde{\sigma}^*l=\mathrm{id}
$$
on $\widetilde{\sigma}^* M$. 这也就证明了
$$
F_2\circ\widetilde{\sigma}^*l=l\circ F_1
$$


设$U$ 是 $M'$ 的一个 submodule 且 $\mathrm{Im}\; F = U\otimes_{R'}R$


如果 $R$ 上有一个 semi-linear endomorphism 即一个线性映射

$$
F:\sigma^*M\longrightarrow M
$$
