题目： 已知随机变量 $X$ 有一个概率分布

$$
P(a<X<b)=\int_{t=a}^{t=b}p_X(t)dt
$$

设 $Y=g(X)$, 其中$g'(x)>0$是个增函数, 如何求变量$Y$ 的概率分布。

分析：我们其实是想知道 一个表达式 $p_Y(s)$ 使得
$$
P(c<Y<d)=\int_{s=c}^{s=d}p_Y(s)ds
$$

该怎么做呢？ 这么做，积分换元法

因为

$$
P(a<X<b)=\int_{t=a}^{t=b}p_X(t)dt
$$

这里假设a和b十分的近，所以

$$
P\left(g(a)<g(X)<g(b)\right)=P(a<X<b)
$$

于是就是说

$$
P\left(g(a)<Y<g(b)\right)=\int_{t=a}^{t=b}p_X(t)dt
$$

但是我们想要的函数，是要从 g(a) 积分到g(b) 来计算$P\left(g(a)<Y<g(b)\right)$, 因此我们要变量替换

$$
P\left(g(a)<Y<g(b)\right)=\int_{g(t)=g(a)}^{g(t)=g(b)}p_X(t)dt
$$

引入$s=g(t)$, 则 $t=g^{-1}(s)$ 所以 $dt=(g^{-1})'(s)ds$

因此

$$
P\left(g(a)<Y<g(b)\right)=\int_{s=g(a)}^{s=g(b)}p_X(g^{-1}(s))(g^{-1})'(s)ds
$$

因此变量 $Y$的概率分布函数就是

$$
p_Y(s)=p_X(g^{-1}(s))(g^{-1})'(s)ds
$$