---
tags: Teaching
---

# 新链接

已知 $\vec q=11\vec e_2-4\vec e_3$, $\vec r=5\vec e_1-12\vec e_2+8\vec e_3$ and $\vec s=\vec e_1+\vec e_3$. 令
$$
\mathcal D=\{\vec e_1+2\vec e_2,-3\vec e_1+5\vec e_2-4\vec e_3,-8\vec e_1+4\vec e_2+11\vec e_3\}
$$
求$\vec q,\vec r,\vec s$在 $\mathcal D$ 下的坐标
**解**

$$
\begin{pmatrix}
\vec q&\vec r&\vec s
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&5&1\\
11&-12&0\\
-4&8&1\\
\end{pmatrix}
$$

设$\mathcal D=\{\vec d_1,\vec d_2,\vec d_3\}$

$$
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-3&-8\\
2&5&4\\
0&-4&11\\
\end{pmatrix}
$$

因此

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\begin{pmatrix}
\vec q&\vec r&\vec s
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&5&1\\
11&-12&0\\
-4&8&1\\
\end{pmatrix}\\\\
&=\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-3&-8\\
2&5&4\\
0&-4&11\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
0&5&1\\
11&-12&0\\
-4&8&1\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_2\mapsto r_2-2r_1]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-3&-8\\
0&11&20\\
0&-4&11\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
0&5&1\\
11&-22&-2\\
-4&8&1\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_2\mapsto r_2+3r_3]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-3&-8\\
0&-1&53\\
0&-4&11\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
0&5&1\\
-1&2&1\\
-4&8&1\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_3\mapsto r_3-4r_2]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&-3&-8\\
0&-1&53\\
0&0&-201\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
0&5&1\\
-1&2&1\\
0&0&-3\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_1\mapsto r_1-3r_2]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&-167\\
0&-1&53\\
0&0&-201\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&2&1\\
0&0&-3\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_3\mapsto -\frac{r_3}{201}]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&-167\\
0&-1&53\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&2&1\\
0&0&\frac1{67}\\
\end{pmatrix}\\\\ [\text{说明：}r_2\mapsto r_2-53r_3]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&-167\\
0&-1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&2&\frac{14}{67}\\
0&0&\frac1{67}\\
\end{pmatrix}\\\\
[\text{说明：}r_1\mapsto r_1+167r_3]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
3&-1&\frac{33}{67}\\
-1&2&\frac{14}{67}\\
0&0&\frac1{67}\\
\end{pmatrix}\\\\
[\text{说明：}r_2\mapsto -r_2]&=
\begin{pmatrix}
\vec d_1&\vec d_2&\vec d_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3&-1&\frac{33}{67}\\
1&-2&-\frac{14}{67}\\
0&0&\frac1{67}\\
\end{pmatrix}
\end{split}
\end{equation}
$$

因此
$$
[\vec q]_{\mathcal D}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\qquad
[\vec r]_{\mathcal D}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}\qquad
[\vec s]_{\mathcal D}=\begin{pmatrix}\frac{33}{67}\\-\frac{14}{67}\\\frac1{67}\end{pmatrix}
$$