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# 线性代数实时讲解

看到了吗？

### 2019年10月28日（换基黑科技讲解）

已知 $\vec q=11\vec e_2-4\vec e_3$, $\vec r=5\vec e_1-12\vec e_2+8\vec e_3$ and $\vec s=\vec e_1+\vec e_3$. 令
$$
\mathcal D=\{\vec e_1+2\vec e_2,-3\vec e_1+5\vec e_2-4\vec e_3,-8\vec e_1+4\vec e_2+11\vec e_3\}
$$
求$\vec q,\vec r,\vec s$在 $\mathcal D$ 下的坐标

**解** 根据题目，有
唔唔唔
[新链接：转移战场](/dEzWAwQHQ2uJLW6qOSunrw)

### 2019年10月3日（高考数学辅导 I--向量的叉乘）

向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中有一个叉乘结构，给定两个向量

$$\vec v_1,\vec v_2\in \mathbb{R}^3$$

那么
$$\vec v_1\times\vec v_2$$
是一个新的向量，它的方向和$\vec v_1,\vec v_2$垂直，同时它的长度等于
$$
||\vec v_1|| ||\vec v_2||\sin\theta
$$
其中$\theta$ 是这两个向量的夹角。注意到两个向量在 $\mathbb R^3$ 里共线当且仅当它们叉乘等于0.

重点来了：给定$\mathbb R^3$中两个向量的坐标，如何计算叉乘？ 公式如下
$$
\begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{pmatrix}
$$
不好意思我写错了

这个公式怎么记呢？

如果给了你两个向量

$$
\begin{pmatrix}
a_1\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
？\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{pmatrix}
$$
如果你要计算问号的部分，第一步，先盖住问好所在的行，然后你会看到

$$
\begin{pmatrix}
-\\a_2\\a_3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-\\b_2\\b_3
\end{pmatrix}
$$

然后你会看到四个元素，这四个元素分别按照十字交叉相乘

$$a_2b_3-a_3b_2$$
就是第一个分量。

然后你盖住第二行的时候

$$
\begin{pmatrix}
a_1\\-\\a_3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_1\\-\\b_3
\end{pmatrix}
$$

记住每次十字相乘的时候，要从盖住的行的后一行开始乘。比如这里应该是 $a_3$ 开始乘，但是注意到 $a_3,b_3$的下一行没有元素，因此我们想象着 这个列表是循环的，因此 $a_3$的下面是 $a_1$。所以，叉乘的第二个分量是

$$a_3b_1-b_3a_1$$

依次类推，你就知道第三个分量是啥了。

## 向量叉乘的应用

向量叉乘可以用来快速对平面的参数方程找标准方程，因为它是很好的找法向量的方法。比如，有平面参数方程

$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}s+
\begin{pmatrix}
5\\6\\7
\end{pmatrix}
$$

你看到方向向量，二话不说，叉乘一下就得到法向量

$$
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4\\1\\-2
\end{pmatrix}
$$

然后掩耳不及盗铃儿响叮当之势写出标准方程
$$
4X+Y-2Z=12
$$

### 题型二，两个平面参数方程，求交线参数方程
没错，三个叉乘得答案，比如，给两个平面参数方程
$$
P_1:\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}s+
\begin{pmatrix}
5\\6\\7
\end{pmatrix}
$$

$$
P_2:\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}t+
\begin{pmatrix}
1\\3\\2
\end{pmatrix}s+
\begin{pmatrix}
1\\4\\9
\end{pmatrix}
$$

所以第一个平面的法线方向是

$$
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4\\1\\-2
\end{pmatrix}
$$

第二个平面的法线方向是
$$
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1\\3\\2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-1\\-1\\2
\end{pmatrix}
$$

注意到交线一定垂直于两个平面的法线，因此，交线的方向，就是这两个法向向量再叉乘一下
$$
\begin{pmatrix}
4\\1\\-2
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-1\\-1\\2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4\\-6\\-3
\end{pmatrix}
$$
找交点的方法，之后再为你描述

### 用叉乘法快速解三元一次方程组，两个方程。

解齐次方程

$$
\left\{\begin{array}{cc}
x+3y+2z&=0\\
x+y+z&=0\\
\end{array}
\right.
$$

不用行变换，可以直接解，因为你直接用叉乘，就知道
$$
\begin{pmatrix}
1\\3\\2
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\1\\-2
\end{pmatrix}
$$
所以解就是
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\1\\-2
\end{pmatrix}t
$$

回到原来的问题，我们怎么找交点呢？其实，因为我们有法向量，所以只需要写出标准方程（这个好写）
$$
4X+Y-2Z=12
$$

$$
-X-Y+2Z=13
$$

找交点，先随便扔掉一个变量（相当于固定 $Z=0$），我们就是解这个方程

$$
4X+Y-12=0
$$

$$
-X-Y-13=0
$$

还是用叉乘，你会得到

$$
\begin{pmatrix}
X\\Y\\1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4\\1\\-12
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
-1\\-1\\-13
\end{pmatrix}t=
\begin{pmatrix}
-25\\64\\-3
\end{pmatrix}t
$$
哦所以通过看最后一个分量，得 $t=-1/3$, 于是一个交点就可以取为

$$
\begin{pmatrix}
X\\Y\\Z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
25/3\\-64/3\\0
\end{pmatrix}
$$

### 2019年10月2日
已知方程

$$
x+y+z=1
$$
$$
3x+y=1
$$

对应的增广矩阵就是

$$
\begin{pmatrix}
1&1&1&1\\
3&1&0&1
\end{pmatrix}
$$

如果你发现发现 $$c_1+c_2+2c_3-4c_4=0$$

意思就是 $$c_4=\frac14c_1+\frac14c_2+\frac12c_3$$

这就是说
$$
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\frac14\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac14\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
$$