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tags: research
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# Cuspidal representation over finite fields

特定标签：cuspidal.qirui.li

**状态**：<span style="color:red">搁置</span>
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Modified: 2020年08月11日

Let $\mathbb F_q$ be a finite field and $\mathbb F_{q^{2n}}$ be its degree 2n extension. Let $\chi$ be any multiplicative character
$$
\chi: \mathbb F_{q^{2n}}^\times\longrightarrow \mathbb C^\times
$$

Then it associates to a supercuspidal representation $\lambda_\chi$ of $\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb F_{q})$. This process is completely a mistery for this moment. Our goal is to understand such a representation.

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Modified:2020年08月12日

阅读文献 P：在我们的情形，特征

$$
\chi: \mathbb F_{q^{2n}}^\times\longrightarrow \mathbb C^\times
$$

在 $\mathbb F_{q^{n}}^\times$ 上是 trivial的，设$$\pi = \Theta(\chi)$$ 是它对应的cuspidal representation. 考虑群
$$
U=\left\{\begin{pmatrix}I_n&X\\&I_n\end{pmatrix}\right\}
$$
的作用，则将$\pi$ 限制在 $U$ 上可以分解成两部分

$$
\pi|_U = \pi^{\mathrm{deg}}\oplus \pi^{\mathrm{nondeg}}
$$

若固定一个加法特征
$$\psi:\mathbb F_q\longrightarrow \mathbb C^\times，$$
那么任何一个$\mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb F_q)$的加法特征$\lambda$全部都能写成
$$
\lambda(X)=\psi(\mathrm{tr}(AX)).
$$
因此，$U$ 的所有加法特征被 $\mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb F_q)/\ker(\psi)$ 刻画。一个加法特征称为non-degenerate 如果刻画它的$A$ 是一个可逆矩阵，否则就称为 degenerate。

这个paper里有一个结论，即 设 $\pi_{U,\psi}$ 是$\pi$ 中最大的$U$的作用是通过 $\psi(\mathrm{tr}(X))$ 的空间，那么它也是 $\Delta(\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q))$ 的表示，而且这个表示就是
$$
\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})
$$

利用Clifford Theory 我们更可推出，$\pi^{\mathrm{nondeg}}$在$\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$ 下的作用是
$$
\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})
$$
这是一个**极其可怕**的结论。注意到在我们的情形下，$\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times}$ 是个 trivial 的表示，这就代表了，任何$\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$ 的表示$\lambda$, 只要$\lambda|_{\Delta(\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q))}$ 是trivial 的 character, 都必须出现在$\pi^{\mathrm{nondeg}}$中，更特殊的，出现在$\pi_{U,\psi}$ 中。这是因为Frobenius receiprocity
$$
\mathrm{Hom}_{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}\left(\lambda,\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})\right)
$$

$$
=\mathrm{Hom}_{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}\left(\mathrm{Res}_{\mathbb F_q^\times}\lambda,\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times}\right)
$$

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2020年08月13日

对于$\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 的描述
$$
\pi^{\mathrm{nondeg}}\cong\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times \mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})
$$

有一个极其可怕的结论，令$\sigma\in\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb F_q)$ 为以下矩阵
$$
\sigma=\begin{pmatrix}0&I_n\\I_n&0\end{pmatrix}
$$
可见$\sigma$ normalize $\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times \mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)$.

那么

$$
\sigma^*\pi^{\mathrm{nondeg}}\cong\sigma^*\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times \mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})
$$

于是这个表示就是

$$
\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times \mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\sigma^*\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times})
$$

但显然的是，$\sigma^*\chi=\chi$。因此，表示 $\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 可以 expand 到
\begin{equation}
X：=\left\{\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}\right\}\cup \left\{\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}\sigma\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}\right\}
\end{equation}

<span style="color:red">这个结论是错的，$\sigma$ 的作用不一定可以expand 到$\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 上。</span>

生成的子群上。

**例子** 如果我们设$n=1$, 在$\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)$ 中，上述$X$就是整个群本身，因此
$$
\Theta(\chi)=\pi^{\mathrm{nondeg}}
$$
这很正常，因为$\Theta(\chi)$ 是 cuspidal representation, 因此在n=2的时候它没有degenerate part.

**推论** 如果$n>1$，则$X$不可能生成整个群$\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb F_q)$ 因为$\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 是在$X$作用下不变的。

**推论** $\sigma$在$\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 的作用必定包含了$\chi$所在的Galois orbit 的信息，否则其他$\pi^{\mathrm{nondeg}}$的信息中，只包含了$\chi|_{\mathbb F_{q^n}^\times}$ 的信息。

**重要引理** Residually Elliptic orbit 一定包含在以下集合中

$$
\left\{\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}\sigma\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}\right\}
$$

**证明** Residually elliptic 的一个代表元可以写成
$$
\begin{pmatrix}
I_n&M\\I_n&I_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\&I_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
&M-I_n\\I_n&
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\&I_n
\end{pmatrix}
$$
进而可以写成
$$
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\&I_n
\end{pmatrix}\sigma\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\&M-I_n
\end{pmatrix}
$$

**备注** 事实上，只要invariant polynomial keep away from 1 的 orbit, 都有此结论。

因此，在我们的问题中，我们只需要讨论
$$\pi^{\mathrm{nondeg}}$$

**My guess** X 生成的子群包含 $\mathrm{GSP}_n(\mathbb F_q)$, 可能没啥用

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2020年08月13日10:17:23

回忆到

$$
\pi^{\mathrm{nondeg}}\cong \mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(1)
$$

设1为 trivial 的表示 $\eta$ 是 $\mathbb F_q^\times$ 上的唯一的 factor throgh $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 的表示。在$\pi^{\mathrm{nondeg}}$ 中考虑两个子空间
$$
\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}\times\mathbb F_q^\times}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(1)
\qquad
\mathrm{ind}_{\mathbb F_{q^n}^{\times}\times\mathbb F_{q^n}^\times}^{\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)\times\mathrm{GL}_n(\mathbb F_q)}(\eta)
$$

但是这两个空间在 Unipotent 的作用下并不封闭。

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2020年08月14日14:10:23

这东西应该不靠Delign - Lustig variety 是搞不出来的。暂时先放一下吧

今天思考了一下relative trace. 设G是个群，H是G的一个子群，来一个G 的representation $\pi$, $\pi^H$ 是其中的H不变子空间 设一个轨道 HgH, 那么我们可以考虑这个轨道对于H的共轭作用 $H'=g^{-1}Hg$, 这时我们也可以考虑$\pi^{H'}$, 其实relative trace 就是 $\pi^{H'}$ 在 $\pi^H$ 上面 的投影。

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### 文献

[P](https://arxiv.org/pdf/1909.01850.pdf): Multiplicities under base change: Finite field case, 2020年

- 2020年08月11日：薛航推荐这篇文章来计算 relative character of cuspidal representation

[P2](http://qirui.li/Book/dwm.pdf): Degenerate Whitakker Models

2020年08月12日：我需要调查Thm 1 看看它是怎么搞GL_n 的 cuspidal 表示的