$$
Y=1-e^{-\frac1\beta X}
$$

因为 $x>0$ 因此 $Y=1-e^{-\frac1\beta X}$ 的取值范围是 $[0,1]$

我们计算 cumulative distribution

$$
F(x)=P(0<Y<x)=P(0<1-e^{-\frac1\beta X}<x)
$$

我们来解这个不等式 $0<1-e^{-\frac1\beta X}<x$ 有

$$
1-x<e^{-\frac1\beta X}<1
$$
两边取对数
$$
\ln(1-x)<-\frac1\beta X<0
$$
然后
$$
0<X<-\beta\ln(1-x)
$$
这也就是说
$$
P(0<1-e^{-\frac1\beta X}<x)=P\left(0<X<-\beta\ln(1-x)\right)
$$
根据$X$ 的 pdf 我们有

$$
P(0<X<-\beta\ln(1-x)=\int_0^{-\beta\ln(1-x)}\frac1\beta e^{-\frac1{\beta}x} dx
$$

把这个积分求出来就是答案啦！