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title: Reasonable Allocation Set 定義
tags: Game Theory
lang: zh_tw
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# 簡介
在 Cooperative Games 中，Players 之間互相組成聯盟以利一起獲得利益，那麼，獲得利益之後，要如何分配？這邊就要提 Reasonable Allocation Set

Reasonable Allocation Set 主要關注的是公平性

# 定義
Let $X = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) | x_i \ge v(i) \}$
- $x_i$: 組成聯盟後，Player i 所能分配到的利益
- $v(i)$: 單一個 Player i 自己能獲得的利益 (不加入聯盟)
- $x_i \ge v(i)$ 組成聯盟後，Player i 能分配到的利益大於自己單打獨鬥所能獲得的利益

Let $\sum_{i=1}^nx_i=v(N)$
- N 是 Set，包含著所有人
- 所有人能分配到的利益加起來(等號左邊)當然要等於大家一起獲得的利益(等號右邊)

若你已經覺得 $X$ 看起來已經是個很合理的分配方式了，那接下來的部分一定要認真看

Reasonable allocation set $R$ 則是 $X$ 的 subset，比 $X$ 的條件更嚴格

$R \equiv \{x|x_i \le max_{T \in \pi^i}\{v(T) - v(T-i)\}, i = 1,2,...,n\}$
- $\pi^i$ 是 Set，包含著 Player i 有參與的所有聯盟
- $v(T) - v(T-i)$ 可以理解成一個 Player i 加入到一個聯盟後，所帶來的效益
- $x_i$ 最大只能是 Player i 加進某聯盟後所帶來的效益，若超過了，對別人來說就不公平、不合理了
- 想像一下，若 Player i 為團隊貢獻 30 卻能拿 300，不合理對吧，Player i 最大頂多就是分走 30 而已，這 30 都是他為團隊貢獻的，而若沒有團隊，只憑 Player i 自己，他搞不好連 10 都拿不到。

若 $x_i \le max_{T \in \pi^i}\{v(T) - v(T-i)\}$ 這個條件成立，那 $x_i \ge v(i)$ 會一定成立嗎？
- $v(i) \le max_{T \in \pi^i}\{v(T) - v(T-i)\}$ 嗎？答案是肯定的

舉個例子解釋吧，先考慮以下

$v(1) = 1$，Player 1 是個菜雞，自己來的話，能得到的不多

$v(2) = 10$，Player 2 是個大神，自己來就能得到 10 了

$v(12) = 12$，兩人合作後，依然發揮了 1 + 1 > 2 的效果

以上情況，我們來看 $v(i) \le max_{T \in \pi^i}\{v(T) - v(T-i)\}$ 是否成立

$max_{T \in \pi^1}\{v(T) - v(T-1)\}$ 是 2，假設大神照常發揮 (10)，菜雞跟大神合作後被大神影響而變強了，貢獻了 2，比自己來時 (1) 還多!! (符合條件式)

$max_{T \in \pi^2}\{v(T) - v(T-2)\}$ 是 11，假設菜雞照常發揮 (1)，大神跟菜雞合作後又變更罩了，貢獻了 11，比自己來時 (10) 還多!! (符合條件式)

以上證明在兩人合作會更好的狀況下，條件式是成立的

那麼兩人合作變爛的狀況下呢？

上述情況只要改一個 v(12)

$v(12) = 5$，兩人合作後，默契不佳，導致變爛了 :(

$max_{T \in \pi^1}\{v(T) - v(T-1)\}$ 是 1，假設大神照常發揮 (10)，菜雞跟大神合作後扯了後腿，貢獻 -5，自己來時 (1) 還比較多 (依然符合條件式)

另外一個狀況就不用說了吧，聰明的你發現了嗎，若合作後反而更差，$max_{T \in \pi^i}\{v(T) - v(T-i)\}$ 的值也還會有 $v(i)$，不會比 $v(i)$ 更低

所以以上我們證明了這條件式一定成立，而這個條件式成立所代表的含意則是 $R$ 是 $X$ 的 subset，因為若某個分配方式 $x$ 符合 $R$ 的條件時，$x$ 也必定符合 $X$ 的條件