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# 111年台大工學院A組 (土木、機械、工海) 二階筆試
*感謝帥氣的同學幫助記憶題目*
## 考試簡述與試場規則

工學院A組為土木、機械、工海三系聯合命題

題目數量：物理6題，數學6題
考試時間：2小時 *（會先有5分鐘的說明）*
題目配分：滿分100分，題1、7為10分題
作答方式：5選2，答對一選項得一半分數，**不選**或選**三項以上**以0分計算
*(不確定能不能選一項)*

這屆應試地點為普通教學館（教室為８＊１０）交叉座

## 考試題目(物理 1至6 數學 7至12)
*題目記的不太清楚*
### 物理
#### 題1
如圖，今有一空心半圓(半徑=R)和一個空心圓柱體(半徑=高=R)彼此以六顆均勻分布於圓周的螺絲固定，將空心半圓上方打孔，並將整個裝置以繩索懸吊，而後以密度為ρ的液體盛滿半圓。a點為接面圓周上一點，b點為圓心，c點為半圓上高度為R/2的點，重力加速度為g。
請選出下方錯誤的兩個敘述。
>（Ａ）a 點的壓力為$ρgR$
（Ｂ）b 點的壓力為$ρgR + P_0，P_0$為大氣壓力
（Ｃ）c 點的壓力為 $\frac{1}{2}ρgR+P_0$
（Ｄ）若將中央打通，把容器填滿，則連接螺絲總施力增加為$ρgπR^3＋某個數值$（忘了，好像跟上面半圓有關）
（Ｅ）承上個選項，若將此容器下方打孔，可發現流速在上方孔打開時較上方孔密閉時快。
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#### 題2
請選出下方正確的兩個敘述。
>（Ａ）太空中雖然聲速慢，但是太空艙外的太空人仍內聽見太空艙內夥伴的訊息。
（Ｂ）鳴笛的火車駛向觀察者時，感到頻率變高，是因為波長降低，聲速增加
（Ｃ）忘記了
（Ｄ）小明今天做實驗，以音叉在裝滿水的試管上方反覆敲擊，並且將試管放水，直到產生第一次共鳴時，此時水位離管口 15cm，已知已知音叉頻率為 550Hz，則空氣中聲速為 330m/s
（E）承上個選項，若使用 80Hz 音叉、1m 玻璃管，無法共振，可能原因為管口過窄。
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#### 題3

如圖，在兩平板之間有 A、B、C 三圓柱，其楊氏模數 *(考卷上不是用這個詞)* 分別為 K、3K、2K，A柱相接著 B 柱。兩平板皆受到 P 的力。

請選出正確的兩個選項 *(這題選項記不太清)*
>（Ａ）A柱受力大於 C 柱的一半
（Ｂ）A柱受力與 B 柱受力相等
（Ｃ）A柱與 B 柱的伸長量相等
（Ｄ）柱的伸長量為 C 柱的 1/3 倍
（Ｅ）忘記了
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#### 題4
如圖(左為俯視圖、右為俯視圖)，甲斷層的年移動速度可表示為(6,20)單位為mm/yr，乙斷層的速度為(7,2)單位為mm/yr,而連接面的法向量為(4,3)

請選出正確的兩個選項
>（Ａ）甲斷層的法向速度為 18.8mm/year
（Ｂ）乙斷層的法向速度為 15mm/year
（Ｃ）甲乙斷層的法向相對速度為 10mm/year
（Ｄ）若甲斷層與乙斷層間有相對滑動，且甲斷層向上方滑動，則此斷層為逆斷層與平移斷層的複合斷層。
（Ｅ）承上個選項，此時斷層受到張應力與剪應力
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#### 題5

有一個電路圖如上
三顆電池$V_A,V_B,V_C$電壓分別為$1V,2V,4V$，電阻$R_1,R_2,R_3,R_4$皆為$1kΩ$

請選出兩個正確的選項
>（Ａ）通過$R_1$的電流為$1mA$
（Ｂ）$R_1$的跨壓為$1V$
（Ｃ）$R_1$通電一小時所產生的熱量為$3.44$卡
（Ｄ）$R_3$的功率為$\frac{1}{4}mW$
（Ｅ）通過$R_4$的電流為$6mA$
*這題選項不太確定*
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#### 題6
有一個矩形線圈(由L1和L2構成)，上面具有電流，處在均勻向左的磁場。
而電流為$100mA$，兩段L1的金屬線段皆長 $50cm$，L2線段長未知，此金屬線圈密度為$100g/m$
重力加速度$g=9.8m/s^2$線圈與鉛垂面的夾角為$45^o$，均勻向左的磁場$B=10T$
請問下列敘述哪兩個正確
>（Ａ）兩條 L1 的線段所受磁力方向相反
（Ｂ）L1 長度比 L2 長
（Ｃ）若其他條件不變，電流強度增加，則 L2 線段往上移動
（Ｄ）若其他條件不變，磁場方向改為由下至上，則 L2 線段往上移動
（Ｅ）忘記了

***

### 數學
#### 題7
已知 A、B、C 皆為 nxn 矩陣，則下列敘述哪兩者正確？
>（Ａ）若$𝐴^3$有反矩陣，則$𝐴^2$必定有反矩陣
（Ｂ）若𝐴𝐵 = 0，則𝐴 = 0或𝐵 = 0
（Ｃ）$若𝐴𝐵𝐴 = 𝐴^3 + 2𝐴^2，而𝐴 =
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 5 \\
2 & 6 & 2 \\
\end{array}
\right]
，則B =
\left[
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 5 \\
2 & 6 & 4 \\
\end{array}
\right]$
（Ｄ）有$det(𝐴 + 𝐵) = det(𝐴) + det(𝐵)$
（Ｅ）忘記了。*~~這題從頭到尾除了C選項的C以外沒出現C，哈~~*

#### 題8
選出兩個正確的選項
>（Ａ）在$0<𝑥<2𝜋時，\cot{𝑥}=\sin{𝑥}$有 4 個實數解
（Ｂ）在$0<𝑥<2𝜋時，2𝑥 =\sqrt{3}\sin{𝑥}+\cos{𝑥}$有 2 個實數解
（Ｃ）已知$tan{2𝜃}=4$，則$\sin{4𝜃}+\cos{4𝜃}\cot{2𝜃}=\frac{1}{4}$
（Ｄ）若$𝑓(𝑥) = 8\sin^2{𝑥} + 6\sin{𝑥}\cos{x}−4\cos^2{𝑥}$，則$𝑓(𝑥)$的週期為$2\pi$
（Ｅ）承（Ｄ），此$𝑓(𝑥)$的最大值為$3√5 + 2$

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#### 題9

有一方程式
$\left[\frac{1}{\sqrt{2}}cos{𝜃}−
sin{\left(\frac{𝜃}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\right]
=𝒜\space cos{𝜃},\space0 ≤ 𝜃 ≤ \pi$

可將此式改寫為

$\left[\frac{1}{\sqrt{2}}cos{𝜃}−
sin{\left(\frac{𝜃}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\right]
=𝑓(𝜃)\space cos{𝜃},\space 0 ≤ 𝜃 ≤ \pi$
*然後給了一張𝑓(𝜃)與𝜃的關係圖*，在$𝜃 = 𝜃^∗$時，有$𝑓(𝜃)$的最大值$𝑓(𝜃)^*$

請問下列敘述哪兩者正確
>（Ａ） 𝒜的值可使方程式只有 1 個解
（Ｂ） 𝒜的值可使方程式只有 3 個解
（Ｃ） 𝒜的值可使方程式只有 5 個解
（Ｄ） $𝜃^*=\frac{\pi}{4}$
（Ｅ） $𝑓(𝜃)^*=\frac{1}{\sqrt{2}}$
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#### 題10
$y=f\left(x\right)=\left(b-ax\right)
\left(1-x^2\right)-\left(c-dx\right)^2$
$a,b,c,d\in\mathbb{R},\space a>0,\space
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{dy}{dx}$
$且在區間(-1,1)中，有子區間(x_1,x_2)使得f(x)恆正$
請選出兩個正確的敘述
>（Ａ）$f(x)在(1,\infty)中有一實根$
（Ｂ）$f(x)在(-\infty,-1)中有一實根$
（Ｃ）（Ｄ）（Ｅ）跟$f'(x)有關$

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#### 題11
有一個彈珠檯，小球落下時，撞到每一個角柱，往左或往右落下的機率相等，而下降前會遇到四個角柱，最後落到5個洞(A, B, C, D, E)中，請問關於彈珠放下後落到各洞機率的敘述哪兩者正確(經典題，帕斯卡三角形)
>下列敘述哪兩者正確
>（Ａ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ａ的機率
（Ｂ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ的機率和
（Ｃ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ｂ、Ｄ的機率和
（Ｄ）球落進Ｃ的機率等於球落進Ａ、Ｂ、Ｅ的機率和
（Ｅ）球落進Ｂ的機率等於球落進Ａ、Ｅ的機率和

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#### 題12
有$z = 1 − \sqrt{3}i$
>（Ａ）有$a$的平方根為$z$，即$a=z^2=2^2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)$
（Ｂ）有$a$的平方根為$z$，即$a=z^2=2^2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
（Ｃ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^\frac{1}{10}=2^\frac{1}{10}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)$
（Ｄ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^\frac{1}{10}=2^\frac{1}{10}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
（Ｅ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^\frac{1}{10}=2^\frac{1}{10}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

## 心得
是時候撕掉牆上的便條了。
>二階筆試加油！

**祝看到文章的你，筆試順利！**