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111年台大工學院A組 (土木、機械、工海) 二階筆試

感謝帥氣的同學幫助記憶題目

考試簡述與試場規則

工學院A組為土木、機械、工海三系聯合命題

題目數量：物理6題，數學6題
考試時間：2小時 （會先有5分鐘的說明）
題目配分：滿分100分，題1、7為10分題
作答方式：5選2，答對一選項得一半分數，不選或選三項以上以0分計算
(不確定能不能選一項)

這屆應試地點為普通教學館（教室為８＊１０）交叉座

考試題目(物理 1至6 數學 7至12)

題目記的不太清楚

物理

題1

如圖，今有一空心半圓(半徑=R)和一個空心圓柱體(半徑=高=R)彼此以六顆均勻分布於圓周的螺絲固定，將空心半圓上方打孔，並將整個裝置以繩索懸吊，而後以密度為ρ的液體盛滿半圓。a點為接面圓周上一點，b點為圓心，c點為半圓上高度為R/2的點，重力加速度為g。
請選出下方錯誤的兩個敘述。

（Ａ）a 點的壓力為$\rho gR$
（Ｂ）b 點的壓力為$\rho gR+P_0，P_0$為大氣壓力
（Ｃ）c 點的壓力為 $\frac{1}{2}\rho gR+P_0$
（Ｄ）若將中央打通，把容器填滿，則連接螺絲總施力增加為$\rho g\pi R^3＋\mathrm{某}\mathrm{個}\mathrm{數}\mathrm{值}$（忘了，好像跟上面半圓有關）
（Ｅ）承上個選項，若將此容器下方打孔，可發現流速在上方孔打開時較上方孔密閉時快。

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題2

請選出下方正確的兩個敘述。

（Ａ）太空中雖然聲速慢，但是太空艙外的太空人仍內聽見太空艙內夥伴的訊息。
（Ｂ）鳴笛的火車駛向觀察者時，感到頻率變高，是因為波長降低，聲速增加
（Ｃ）忘記了
（Ｄ）小明今天做實驗，以音叉在裝滿水的試管上方反覆敲擊，並且將試管放水，直到產生第一次共鳴時，此時水位離管口 15cm，已知已知音叉頻率為 550Hz，則空氣中聲速為 330m/s
（E）承上個選項，若使用 80Hz 音叉、1m 玻璃管，無法共振，可能原因為管口過窄。

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題3

如圖，在兩平板之間有 A、B、C 三圓柱，其楊氏模數 (考卷上不是用這個詞) 分別為 K、3K、2K，A柱相接著 B 柱。兩平板皆受到 P 的力。

請選出正確的兩個選項 (這題選項記不太清)

（Ａ）A柱受力大於 C 柱的一半
（Ｂ）A柱受力與 B 柱受力相等
（Ｃ）A柱與 B 柱的伸長量相等
（Ｄ）柱的伸長量為 C 柱的 1/3 倍
（Ｅ）忘記了

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題4

如圖(左為俯視圖、右為俯視圖)，甲斷層的年移動速度可表示為(6,20)單位為mm/yr，乙斷層的速度為(7,2)單位為mm/yr,而連接面的法向量為(4,3)

請選出正確的兩個選項

（Ａ）甲斷層的法向速度為 18.8mm/year
（Ｂ）乙斷層的法向速度為 15mm/year
（Ｃ）甲乙斷層的法向相對速度為 10mm/year
（Ｄ）若甲斷層與乙斷層間有相對滑動，且甲斷層向上方滑動，則此斷層為逆斷層與平移斷層的複合斷層。
（Ｅ）承上個選項，此時斷層受到張應力與剪應力

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題5

有一個電路圖如上
三顆電池$V_A,V_B,V_C$電壓分別為$1V,2V,4V$，電阻$R_1,R_2,R_3,R_4$皆為$1k\Omega$

請選出兩個正確的選項

（Ａ）通過$R_1$的電流為$1mA$
（Ｂ）$R_1$的跨壓為$1V$
（Ｃ）$R_1$通電一小時所產生的熱量為$3.44$卡
（Ｄ）$R_3$的功率為$\frac{1}{4}mW$
（Ｅ）通過$R_4$的電流為$6mA$
這題選項不太確定

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題6

有一個矩形線圈(由L1和L2構成)，上面具有電流，處在均勻向左的磁場。
而電流為$100mA$，兩段L1的金屬線段皆長 $50cm$，L2線段長未知，此金屬線圈密度為$100g/m$
重力加速度$g=9.8m/s^2$線圈與鉛垂面的夾角為${45}^o$，均勻向左的磁場$B=10T$

請問下列敘述哪兩個正確

（Ａ）兩條 L1 的線段所受磁力方向相反
（Ｂ）L1 長度比 L2 長
（Ｃ）若其他條件不變，電流強度增加，則 L2 線段往上移動
（Ｄ）若其他條件不變，磁場方向改為由下至上，則 L2 線段往上移動
（Ｅ）忘記了

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數學

題7

已知 A、B、C 皆為 nxn 矩陣，則下列敘述哪兩者正確？

（Ａ）若${𝐴}^3$有反矩陣，則${𝐴}^2$必定有反矩陣
（Ｂ）若𝐴𝐵 = 0，則𝐴 = 0或𝐵 = 0
（Ｃ）$\mathrm{若}𝐴𝐵𝐴={𝐴}^3+2{𝐴}^2，\mathrm{而}𝐴=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 1& 5\\ 2& 6& 2\end{array}\right]，\mathrm{則}B=\left[\begin{array}{ccc}3& 3& 4\\ 0& 3& 5\\ 2& 6& 4\end{array}\right]$
（Ｄ）有$det(𝐴+𝐵)=det(𝐴)+det(𝐵)$
（Ｅ）忘記了。這題從頭到尾除了C選項的C以外沒出現C，哈

題8

選出兩個正確的選項

（Ａ）在$0<𝑥<2𝜋\mathrm{時}，\cot 𝑥=\sin 𝑥$有 4 個實數解
（Ｂ）在$0<𝑥<2𝜋\mathrm{時}，2𝑥=\sqrt{3}\sin 𝑥+\cos 𝑥$有 2 個實數解
（Ｃ）已知$tan2𝜃=4$，則$\sin 4𝜃+\cos 4𝜃\cot 2𝜃=\frac{1}{4}$
（Ｄ）若$𝑓(𝑥)=8{\sin }^2𝑥+6\sin 𝑥\cos x-4{\cos }^2𝑥$，則$𝑓(𝑥)$的週期為$2\pi$
（Ｅ）承（Ｄ），此$𝑓(𝑥)$的最大值為$3\surd 5+2$

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題9

有一方程式
$[\frac{1}{\sqrt{2}}cos𝜃-sin(\frac{𝜃}{2}-\frac{\pi }{4})]=𝒜cos𝜃,0\le 𝜃\le \pi$

可將此式改寫為

$[\frac{1}{\sqrt{2}}cos𝜃-sin(\frac{𝜃}{2}-\frac{\pi }{4})]=𝑓(𝜃)cos𝜃,0\le 𝜃\le \pi$
然後給了一張𝑓(𝜃)與𝜃的關係圖，在$𝜃={𝜃}^{\ast }$時，有$𝑓(𝜃)$的最大值$𝑓(𝜃{)}^{\ast }$

請問下列敘述哪兩者正確

（Ａ） 𝒜的值可使方程式只有 1 個解
（Ｂ） 𝒜的值可使方程式只有 3 個解
（Ｃ） 𝒜的值可使方程式只有 5 個解
（Ｄ） ${𝜃}^{\ast }=\frac{\pi }{4}$
（Ｅ） $𝑓(𝜃{)}^{\ast }=\frac{1}{\sqrt{2}}$

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題10

$y=f\left(x\right)=(b-ax)(1-x^2)-{(c-dx)}^2$
$a,b,c,d\in \mathbb{R},a>0,f^{\prime }(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{dy}{dx}$
$\mathrm{且}\mathrm{在}\mathrm{區}\mathrm{間}(-1,1)\mathrm{中}，\mathrm{有}\mathrm{子}\mathrm{區}\mathrm{間}(x_1,x_2)\mathrm{使}\mathrm{得}f(x)\mathrm{恆}\mathrm{正}$
請選出兩個正確的敘述

（Ａ）$f(x)\mathrm{在}(1,\mathrm{\infty })\mathrm{中}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{實}\mathrm{根}$
（Ｂ）$f(x)\mathrm{在}(-\mathrm{\infty },-1)\mathrm{中}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{實}\mathrm{根}$
（Ｃ）（Ｄ）（Ｅ）跟$f^{\prime }(x)\mathrm{有}\mathrm{關}$

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題11

有一個彈珠檯，小球落下時，撞到每一個角柱，往左或往右落下的機率相等，而下降前會遇到四個角柱，最後落到5個洞(A, B, C, D, E)中，請問關於彈珠放下後落到各洞機率的敘述哪兩者正確(經典題，帕斯卡三角形)

下列敘述哪兩者正確
（Ａ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ａ的機率
（Ｂ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ的機率和
（Ｃ）球落進Ｃ的機率大於球落進Ｂ、Ｄ的機率和
（Ｄ）球落進Ｃ的機率等於球落進Ａ、Ｂ、Ｅ的機率和
（Ｅ）球落進Ｂ的機率等於球落進Ａ、Ｅ的機率和

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題12

有$z=1-\sqrt{3}i$

（Ａ）有$a$的平方根為$z$，即$a=z^2=2^2(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$
（Ｂ）有$a$的平方根為$z$，即$a=z^2=2^2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$
（Ｃ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^{\frac{1}{10}}=2^{\frac{1}{10}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)$
（Ｄ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^{\frac{1}{10}}=2^{\frac{1}{10}}(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$
（Ｅ）有$a$的十次方為$z$，即$a=z^{\frac{1}{10}}=2^{\frac{1}{10}}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

心得

是時候撕掉牆上的便條了。

二階筆試加油！

祝看到文章的你，筆試順利！