# TIR de un Abono al Pie

Queremos calcular la TIR de un abono al pie que llamaremos $C_i$
Este abono al pie genera una reducción en los dividendos de
$$C_i\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$$
(demostración en el anexo)
$C_i$ = Abono al pie
$n$ = Número de períodos
$r$ = tasa

Por lo tanto, la TIR se calcula como

$$0=-C_i+\sum_{k=1}^nC_i\frac{r(1+r)^n}{((1+r)^n-1)(1+TIR)^k}$$

$$C_i\ne0$$

$$0=-1+\sum_{k=1}^n\frac{r(1+r)^n}{((1+r)^n-1)(1+TIR)^k}$$

Si resolvemos esto por métodos numéricos de aproximación de Newton-Radson:

La TIR que resuelve esta ecuación es

$$ TIR = r $$

Lo impresionante de esta demostración es que la TIR no depende ni del plazo del crédito ni del tamaño del abono.

# Anexo

La fórmula del dividendo es
$$P\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$$
$P$ = Crédito Hipotecario
Con el abono queda
$$(P-C_i)\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$$

Por lo tanto la diferencia es

$$C_i\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$$