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# Mathematics高一下

## 數列
$什麼是數列?某些函數點$
即$<a_k>=f(k),k\in\mathbb{N}$

### 等差數列
$一數列滿足
\\a_n-a_{n-1}=d,d\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}\\
則稱<a_k>為等差數列$
性質:
1. $<a_k>=pk+q, p\in\mathbb{R},q\in\mathbb{R}$
2. $a_{n}-2a_{n-1}+a_{n-2}=0$

$1.\ pf:$
$\because a_k=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_k-a_{k-1})=a_1+(k-1)d
\\\therefore a_k=a_1+kd-d
\\令p=d,q=a_1-d
\\則a_k=pk+q$

$2.\ pf:$
$\because a_n=pn+q
\\\therefore a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}
\\=pn+q-2(p(n-1)+q)+p(n-2)+q
\\=pn+q-2pn+2p-2q+pn-2p+q
\\=0$

> 等差數列某一項可表為前後兩項之和
> $a_{n}+a_{n-2}=2a_{n-1}$

### 等比數列

一數列滿足
$\forall n,\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=r,a_0=k\not=0$
則其一般式$a_n=a_0r^{n}$

等比中項：${a_n}^2=a_{n+1}a_{n-1}$
$pf:$
$a_{n+1}a_{n-1}={a_0}^2r^{2n}\land {a_n}^2={a_0}^2r^{2n}$

不會的話就設首項和公比，依條件解方程式

### 群數列

1. 先找分群規則
2. 再依群數列算式

## 數學歸納法的原理：皮亞諾的數學五大公設
1. $1\in N$
2. $n\in N存在 m\in N 滿足 m=n^+$
3. $1\not =n^+,\forall n\in N$
4. $k\not=n\Leftrightarrow k^+ \not =n^+$
5. $let\ S\subset N,
\\(a)1\in S\\(b)if\ and\ only\ if\ k\in S\ then\ k+1\in S,\to S=N$
$pf:
\\let\ S\subset N,\ \And \ S+S'=N,S\cap S'=\varnothing,S'\not =\varnothing
\\\because S'\subset N\ \therefore 有最小元素\ a+1
\\\therefore a\in S
\\but\because S\ 滿足兩條件((a)1\in S\ (b)if\ k\in S\ then\ k+1\in S)
\\\therefore if\ a\in S\to a+1\in S與原設矛盾(S'中沒有最小元素)
\\\therefore S'=\varnothing, 即S=N得證(反證法)$
> 數學歸納法的使用時機：證明規律

## 級數公式

### 求和符號
定義：
$\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<a_k>=a_t+a_{t+1}+a_{t+2}+\dots+a_{n},t\in\mathbb{N}$

性質：

1. $\displaystyle\sum_{k=t}^{n}(x<a_k>+y<b_k>)=x\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<a_k>+y\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<b_k>$
2. $\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<a_k>=\displaystyle\sum_{k=t}^{s}<a_k>+\displaystyle\sum_{k=s+1}^{n}<a_k>$
3. $\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<a_k>=\displaystyle\sum_{i=t}^{n}<a_i>$
4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}<a_k>=\displaystyle\sum_{k=t}^{n}<a_k>-\displaystyle\sum_{k=1}^{t-1}<a_k>$

### 等差級數：
$假設<a_k>_{k=1}^{k=n}=mk+b,k\in N$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}<a_k>=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(mk+b)=m(\dfrac{n(n+1)}{2})+nb$

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### 等比級數：
令等比數列$<a_k>^{k=n}_{k=1}公差為r
\\\sum^{k=n}_{k=1}a_k=\dfrac{a_1(r^{n}-1)}{r-1}$


> 等比求和:利用$S-rS$

### 差比級數

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### $k^t型$

$\displaystyle\sum^n_{k=1}k$ = $\cfrac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle\sum^n_{k=1}k^2$ = $\cfrac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle\sum^n_{k=1}k^3=(\sum^n_{k=1}k)^2=(\cfrac{n(n+1)}{2})^2$

> 可以注意到$k^{t}$求級數和後往往得到$n^{t+1}$的形式
> 且最高次項係數皆為$\dfrac{1}{t+1}$
> 這也為積分的冪則提供了另一個理解方法
> $\displaystyle\int{x^{n}}dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c$

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### 相消級數

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### 雜級數

$\displaystyle\sum^{n}_{k=1}k(k+1)(k+2)(k+3)\dots(k+t)=\dfrac{k(k+1)(k+2)\dots(k+t+1)}{t+2}$

## 數據分析
$算術平均數\overline{X}(or\ \mu_x)=\dfrac{\displaystyle\sum^{i=n}_{i=1}x_i}{n}
\\標準差\sigma=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum^{i=n}_{i=1}(x_i-\overline{X})^2}{n}}=\sqrt{\overline{X^2}-\overline{X}^2}
\\pf:利用\sum 之運算規則展開$
$相關係數r=\dfrac{\displaystyle\sum^{i=n}_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n\sigma_x\cdot\sigma_y}
\\=\dfrac{\overline{xy}-\overline{x}\cdot\overline{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$
$回歸直線斜率m=\dfrac{r\sigma_y}{\sigma_x}
=\dfrac{\overline{xy}-\overline{x}\cdot\overline{y}}{{\sigma_x}^2}$
$回歸直線必過(\overline{X},\overline{Y})因此可令(y-\overline{Y}) = \dfrac{r\sigma_y}{\sigma_x}(x-\overline{X})$

## 排列組合

前言：

> 排列組合由結果推過程，重點在結果

### 邏輯
各種名詞解釋
1. 敘述：能判別真假的語句
2. 否定敘述：將原敘述加上「不」使之真值與原敘述不同
3. 命題：$p$敘述可推得$q$敘述，若$p$則$q$

若「若$p$則$q$」成立時，則$p$可以視為較小的集合，包含於$q$中

若$p$則$q$ $\iff$ 若$\sim p$則$\sim q$

真值表:

> 0表假，1表真

否定敘述not：
| p | ~p |
| :---: | :------: |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |

且and：
| p | q | output |
| :---: | :---: | :------: |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

> 電路接法：串聯

或or：
| p | q | output |
| :---: | :---: | :------: |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |

> 電路接法：並聯

充分條件與必要條件

例：
若$a\ge b且b>0$
則$a\ge 0$是否成立？
是!雖然$a應該必>0$但是$\ge$的意思是大於「或」等於
因此只需要一個條件成立($a>0$)，$a\ge 0$就會成立

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### 集合論
集合：一群物件聚集在一起
元素：集合中的物件

各種關係的表示法
元素$a$在$A$集合中，以$a\in{A}$表之
$A$包含元素$a$，以${A}\ni{a}$表之

> 註：集合也可以是一種元素
> 例如：$A=\{1,2\},B=\{A,3\}$

集合的包含關係：
若$A$集合包含於$S$集合中，則$A$中所有元素皆屬於$S$

集合的相等：
若$A$集合與$B$集合相等，則$A$中所有元素皆屬於$B$且$B$只含有這些元素

集合的性質：
1. 無序性
2. 互異性

### 取捨原理
1. $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$
2. $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
3. $n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=n(U)-[n(A)+n(B)-n(A\cap B)]$
4. $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-[n(A\cup B)+n(A\cup C)+n(B\cup C)]+n(A\cap B\cap C)$
5. $n(A'\cap B)=n(B)-n(A\cap B)$
6. $n(A'\cap B'\cap C')
\\=n(U)-n(A\cup B\cup C)
\\=n(A)+n(B)+n(C)-[n(A\cup B)+n(A\cup C)+n(B\cup C)]+n(A\cap B\cap C)$

證明：利用集合的互異性

> 使用時機：二，三條件，或，且互換
> 可與底下的公式們聯合

### 排列組合公式
$排列P^{n}_{\ r}=由n向下連乘r個數=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$
$組合C^{n}_{\ r}=由n向下連乘r個數再除掉r!=\dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}$
$重複組合H^{n}_{r}=C^{(n-1)+r}_{r}$

>排列與組合的差別：排列有順序性，組合沒有

$剩餘定理C^{n}_{\ r}=C^{n}_{\ n-r}$
> 使用時機：化簡運算

$巴斯卡公式C^n_{\ r-1}+C^n_{\ r}=C^{n+1}_{r}$
> 使用時機：看到一串有規律的$C^{m}_{k}$求合

$古典機率：就是兩題排列組合(\dfrac{所要}{全部})利用排列組合算出全部和所要$
> 由結果推過程，重點在結果

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限制級:

$深究機率:
\\常態分佈曲線(normal\ distrubution\ curve):
\\definition:f(z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}
\\therom:\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty}f(z)\mathrm{d}z=1$
> note:$\displaystyle\int^{\infty}_{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}$

> 對於各種具有此性質的分布:$f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{[\frac{-1}{2}][\frac{x-\mu_x}{\sigma}]^2},\sigma^2=\displaystyle\sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu_x)^2,\mu_x=\displaystyle\sum^{n}_{i=1}x_i$

$圖形最高點出現在x=?
\\\because f'(z)=0時(切線斜率=0)有極值
\\f'(z)=\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-z^2}{2}}}=0
\\令g(z)=e^z,h(z)=\cfrac{-z^2}{2}
\\依據鏈鎖律可得:
\\f'(z)=g'(h(z))h'(z)=\cfrac{-z}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-z^2}{2}}\overset{set}{=}0
\\\implies({z}=0)\vee (e^{\frac{-z^2}{2}})=0
\\又\because k(z)=e^{\frac{-z^2}{2}},\forall z\in\mathbb{R},k(z)\not=0,(\because y=0為k(z)之漸近線)
\\\implies \{z \mid k(z)=e^{\frac{-z^2}{2}}=0\}=\varnothing
\\\therefore({z}=0)\lor (e^{\frac{-z^2}{2}}=0)等價於z=0
\\檢驗兩側趨勢:
\\\because f'(0)=0,f'(1)<0,f'(-1)>0
\\\implies 在z=0之左側為嚴格遞增(指數函數),z=0之右側為嚴格遞減
\\\therefore f(0)為f(z),\forall z\in\mathbb{R}最大值$

$z=0代入f(z)得到\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}
\\又\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty}f(z)\mathrm{d}z=1
\\\therefore P(f(0))=\cfrac{所要}{全部}=\cfrac{f(0)}{\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty}f(z)\mathrm{d}z}\times 100\%=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\times{100\%}\approx39.8\%$


## 三角

三角形有$3!$種邊比

$\sin{\theta}=\cfrac{b}{c}=\cfrac{對邊}{斜邊}$
$\cos{\theta}=\cfrac{a}{c}=\cfrac{鄰邊}{斜邊}$
$\tan{\theta}=\cfrac{b}{a}=\cfrac{對邊}{鄰邊}$
$\cot{\theta}=\cfrac{a}{b}=\cfrac{鄰邊}{對邊}$
$\sec{\theta}=\cfrac{c}{a}=\cfrac{斜邊}{鄰邊}$
$\csc{\theta}=\cfrac{c}{b}=\cfrac{斜邊}{對邊}$

### 平方關係

$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$
$\sec^2{\theta}=\tan^2{\theta}+1$
$pf:
\\三角形ABC中:
\\a^2+b^2=c^2(畢氏定理)
\\\begin{cases}a=c\cos{\theta}\\b=c\sin{\theta}\end{cases}
\\\to c^2\cos^2{\theta}+c^2\sin^2{\theta}=c^2
\\\to\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$

### 倒數關係
$\tan{\theta}\cdot\cot{\theta}=1$
$\sec{\theta}\cdot\cos{\theta}=1$
$\csc{\theta}\cdot\sin{\theta}=1$

### 商數關係
$\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\cot{\theta}=\dfrac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$

### 餘角關係
$\sin{(\dfrac{k\pi}{2}\pm\theta)}=正負不定\cos{\theta},k=2n+1,n\in\mathbb{Z}$
$\cos{(\dfrac{k\pi}{2}\pm\theta)}=正負不定\sin{\theta},k=2n+1,n\in\mathbb{Z}$

### 廣義角

想使角度從$0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ}$能夠推廣到實數域$\theta\in\mathbb{R}$
> 目的:以函數角度解釋三角

定義:由$x$軸正向為始邊，以原點為旋轉中心逆時針旋轉$\theta$角度，終邊所在位置，所經過程稱為角度
> 逆時針為正，順時針為負

#### 象限角
終邊不與x軸或y軸重合之角度

#### 同界角
$若兩角度\theta,\phi互為同界角\iff\theta=\phi+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$
最小正同界角與最大負同界角:
$設\theta>0之最小正同界角為\phi,則
\\\begin{cases}0\le\phi<{2\pi}\\\phi=\theta-2k\pi,k\in\mathbb{Z}\\\cos{\phi}=\cos{\theta}\\\sin{\phi}=\sin{\theta}\end{cases}$

$設\theta>0之最大負同界角為\phi,則
\\\begin{cases}0\ge\phi>{-2\pi}\\\phi=\theta-2k\pi,k\in\mathbb{Z}\\\cos{\phi}=\cos{\theta}\\\sin{\phi}=\sin{\theta}\end{cases}$

定理:
$設點P(x,y)\in\Gamma:x^2+y^2=1
\\則P可表為以\theta為參數之參數式
\\\to P\begin{cases}x=\cos{\theta}\\y=\sin{\theta}\end{cases}\quad\theta\in\mathbb{R}
\\\because P之x座標以及y座標分別代表\cos{\theta}與\sin{\theta}
\\\therefore 三角函數值之正負與P之x,y有關$
$性質:
\\\because P\in{Ⅰ}\therefore(\sin{\theta}>0)\wedge(\cos{\theta}>0)\implies\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}>0
\\\because P\in{Ⅱ}\therefore(\sin{\theta}>0)\wedge(\cos{\theta}<0)\implies\tan{\theta}<0
\\\because P\in{Ⅲ}\therefore(\sin{\theta}<0)\wedge(\cos{\theta}<0)\implies\tan{\theta}>0
\\\because P\in{Ⅳ}\therefore(\sin{\theta}<0)\wedge(\cos{\theta}>0)\implies\tan{\theta}<0$

$設一直線L:y=mx+k,\theta為L與x軸正向之夾角,則m=\tan{\theta}$
$pf:
\\\because m=\dfrac{d{y}}{d{x}}
\\\tan{\theta}=\dfrac{r\sin{\theta}}{r\cos{\theta}}=\dfrac{dy}{dx}
\\\therefore\tan{\theta}=m$

### 正弦定理

$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}=2R$
> 使用時機：角多
### 餘弦定理

$\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos{B}=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos{C}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
> 使用時機：兩邊一夾角

### 投影定理

$a=b\cdot\cos{C}+c\cdot\cos{B}$
$b=a\cdot\cos{C}+c\cdot\cos{A}$
$c=a\cdot\cos{B}+b\cdot\cos{A}$

### 三角形面積公式

$\Delta=\dfrac{1}{2}\times底\times高=\begin{cases}(1)\dfrac{1}{2}ab\sin{C}
\\(2)\Delta=\dfrac{abc}{4R}
\\(3)\Delta=\dfrac{a^2\sin{B}\sin{C}}{2\sin{(B+C)}}
\\(4)\Delta=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{C}
\\(5)\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad \quad s=\dfrac{a+b+c}{2}
\\(6)\Delta=rs
\end{cases}$

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