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[學測數學解題技巧整理 \- HackMD](https://hackmd.io/M6EpI2C3Ty6MSIlBDKqk9g)

P.S.：這段我在上劉老人的課的時候幾乎都在發呆，因為很簡單，所以都是用自己的方法來解題的。

## 機率與統計

* 所有隨機變數的可能值之出現機率和必為$1$，可用來解方程式。
* $E(X^2)=(E(X))^2\iff Var(X)=0$
* 判斷是否為二項分布：結果只有兩種可能
* 判斷是否為幾何分布：直到...停止
* 合理性的檢定：說故事大賽

## 複數

### 代數性質

* $i^{k}+i^{k+1}+i^{k+2}+i^{k+3}=0,\forall k\in\mathbb{Z}$
* 化簡根號內含負數的式子：先把$i$開出來再化簡
* 二次方程的根與係數：要特別注意會不會出現$\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}$，若有要記得先判斷$\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}\overset{?}=\sqrt{\alpha\beta}$
* 複數共軛可貫穿加減乘除，複數相乘除的絕對值等同先取絕對值再相乘除。
* $|z|^2=z\cdot\overline{z}$(長度平方=本身內積的複數版本)

### 幾何性質

看到幾何性質，就必須聯想到所有平面幾何會出現的問題，包含二次曲線的表示方法諸如此類的。

* 複數可想成向量，複數相加可想成向量相加減，搭配向量幾何的各種定理。
* 求複數絕對值可想成求長度，利用畢氏、餘弦、和向量內積
* 求極式：先找長度，再找角度，用正負看象限。

幾何圖形在複數平面上利用複數絕對值表示：
以下$z_1=a+bi,z_2=c+di,a,b,c,d\in\mathbb{R}$
* 圓：$C:\{z\mid|z-z_1|=r\}$。(圓心$(a,b)$，半徑$r$)
* 橢圓：$E:\{z\mid|z-z_1|+|z-z_2|=2x,2x>|z_1-z_2|\}$
(中心$(\dfrac{a+c}{2},\dfrac{b+d}{2})$，長軸長$2x$)
* 直線：$\Gamma:\{z\mid|z-z_1|=|z-z_2|\}$($z_1,z_2$所代表的點連線段之中垂線)
* 阿波羅尼斯圓$\Gamma:\{z\mid|z-z_1|=k|z-z_2|,k>0,k\not=1\}$
* 雙曲線：$\Gamma:\{z\mid||z-z_1|-|z-z_2||=2x,2x<|z_1-z_2|\}$
(中心$(\dfrac{a+c}{2},\dfrac{b+d}{2})$，貫軸長$2x$)

以上圖形可以利用複數乘法做線性變換，也許會出在非選擇題的考題中。
也就是令$w=z(x+yi)$，可以考你對於圖形的基本性質，定義，還可以考你寫成矩陣表示。

* 看到複數相除$\implies$找夾角，可以利用餘弦定理找長度

例題：(清大數學應數組二階筆試)

複數平面上有$O,P_1,P_2$三點，其中$O$為原點，複數$z_1,z_2$分別表$P_1,P_2$，且滿足$3{z_1}^2-2z_1z_2+2{z_2}^2=0$，$\dfrac{z_1-2}{z_1+2}$為純虛數
* (1)求$|z_1|=?$
* (2)若$w=\dfrac{z_1}{z_2}$，則$w=?$利用此結果求$\tan{\angle{P_1OP_2}}$。
* (3)求$\triangle{P_1OP_2}$之面積

:::spoiler 解
(1)
代數解：
因為$\dfrac{z_1-2}{z_1+2}$是純虛數
可以假設$z_1=a+bi,\dfrac{z_1-2}{z_1+2}=ki,a,b\in\mathbb{R},k\in\mathbb{R}-\{0\}$，那麼
$ki((a+2)+bi)=(a-2)+bi$
若且唯若兩虛數相等，則實部相等且虛部相等
得到$\begin{cases}(a+2)k=b\\-bk=a-2\end{cases}
\\\implies (a+2)(a-2)=-b^2
\\\implies a^2+b^2=4$
$\therefore|z_1|=\sqrt{a^2+b^2}=2$

幾何解：
(看到複數相除$\implies$找夾角)
(記得畫圖因為我懶)
設$|z_1|=r$，因為$\dfrac{z_1-2}{z_1+2}$是純虛數，即表示：$\angle{AOB}=90^{\circ}$
其中$O,A,B$分別表示複數平面上的原點、$z_1-2$、$z_1+2$在複數平面上所對應到的點
$P_1$是$A,B$中點，而因為直角三角形中，外心會在斜邊中點上
又外心到三角形三頂點等距離，因此$r=\dfrac{1}{2}\overline{AB}=2$

(2)
$w=\dfrac{z_1}{z_2}$
已知$3{z_1}^2-2z_1z_2+2{z_2}^2=0$
在$z_2\not=0$的情況下，等式兩邊同除以${z_2}^2$(這技巧很重要)
得$3(\dfrac{{z_1}^2}{{z_2}^2})-2(\dfrac{{z_1}}{{z_2}})+2=0=3w^2-2w+2$
所以$w=\dfrac{2\pm\sqrt{4-24}}{6}=\dfrac{2\pm2\sqrt{5}i}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}i}{3}$
而因為$\arg(w)=\angle{P_1OP_2}$
設$\arg(w)=\theta$
(求極式：先找長度，再找角度，用正負看象限。)
化$w=re^{i\theta}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}(\dfrac{1}{3}\times{\sqrt{\dfrac{3}{2}}}+i\dfrac{\sqrt{5}}{3}\times{\sqrt{\dfrac{3}{2}}})=\sqrt{\dfrac{2}{3}}(\dfrac{\sqrt{6}}{6}+i\dfrac{\sqrt{30}}{6})$
所以$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{6}}{6},\sin{\theta}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$，可得$\tan{\theta}=\sqrt{5}$

(3)
$\triangle{P_1OP_2}$面積為$\dfrac{1}{2}|z_1||z_2|\sin{\theta}$$\qquad$($\theta$是樓上的$\theta$,$\sin{\theta}$取正)
因為$|w|=|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
(複數相乘除的絕對值等同先取絕對值再相乘除)
所以$|z_2|=\dfrac{|z_1|}{|w|}=\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}=\sqrt{6}$
因此$\triangle{P_1OP_2}$面積為$\dfrac{1}{2}\times{2}\times{\sqrt{6}}\times\dfrac{\sqrt{30}}{6}=\sqrt{5}$
:::

### 一元$n$次方程式

以下$\omega=\cos{\dfrac{2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{n}},n\in\mathbb{N}$

註：$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}a_k=a_1\times a_2\times a_3\dots\times a_n$

* $\omega$：$n$次一循環($\omega^{k+n}=\omega^k,k\in\mathbb{Z}$)
* $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0$
* $\omega^n=1$
* $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^k=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(x-\omega^k)$ (因式分解)

* $n$不大時，比如$n=5$，問$\dfrac{1}{3-\omega^6}+\dfrac{1}{3-\omega^2}+\dfrac{1}{3-\omega^{23}}+\dfrac{1}{3-\omega^{14}}=?\implies$先用$n$次一循環化簡再配對相加。
* $n$很大時，比如$n=112$，問$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{-7}{2-\omega^k}=?$
* 利用$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^k=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(x-\omega^k)$，等式兩邊對$x$微分，再兩邊同除以$f(x)$得到$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-\omega^k}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$。
* $f'(x)$是一個差比級數，利用$S-rS$(事實上也有公式，可以和樓下的等比級數公式先對消)，$f(x)$是等比級數，代公式。

> 因為非選擇題想考什麼就考什麼，所以我把這種很難的題目也放進來，就怕可能真的考了引導式作答之類隨便他想叫什麼的題目。
> 因為微分也有教，微分乘法也有補充，所以還是有可能考。

以下大概是未超出範圍內最難的題目之一，也是有可能會出在非選擇題的。

證明$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log(\sin{(\dfrac{k\pi}{2n+1})})=\log{(\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2^n})}$

設$\omega=e^{\frac{2i\pi}{2n+1}}=\cos{\dfrac{2\pi}{2n+1}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{2n+1}}$
$\therefore f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}x^k=\prod_{k=1}^{2n}(x-\omega^k)$
此時$f(1)=2n+1=\displaystyle\prod_{k=1}^{2n}|1-\omega^k|$
又$\because|1-\omega^{k}|=|2\sin(\dfrac{k\pi}{2n+1})|=|1-\omega^{2n+1-k}|$

如圖，設$B$點表示$\omega^{k}$在複數平面上表示的點，$C(1,0)$，$D$是$B,C$中點。
$\angle{BOC}=\dfrac{2k\pi}{2n+1}\implies\angle{DOC}=\angle{BOD}=\dfrac{k\pi}{2n+1}$
$1-\omega^k$，若對應到向量可表示$\vec{BC}$，故$|1-\omega^k|=\overline{BC}$
可得到$\overline{BC}=2\overline{BD}=2\overline{BO}\sin{\angle{BOD}}=2\sin{(\dfrac{k\pi}{2n+1})}$

$\therefore 2n+1=\displaystyle\prod_{k=1}^{2n}|1-\omega^k|=\displaystyle\prod_{k=1}^{2n}|2\sin(\dfrac{k\pi}{2n+1})|=(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}|2\sin(\dfrac{k\pi}{2n+1})|)^2\\\implies\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin(\dfrac{k\pi}{2n+1})=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2^n}
\\\implies\log(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin(\dfrac{k\pi}{2n+1}))=\log(\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2^n})=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\log(\sin{(\dfrac{k\pi}{2n+1})})$

> 這題所使用的觀念涵蓋函數的因式定理，三角幾何和向量幾何，複數絕對值，對數律
> 甚至可以問極限存不存在。

## 二次曲線

解析幾何：求軌跡，設動點，依條件，寫出來。
這邊的條件當然是要自己找，搭配各種圖形的定義。

### 拋物線

* 看到像柯西的形式($(ax+by+c)^2=(a^2+b^2)((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$)也許代表拋物線。
* 記得焦點不在準線上，通常這個可以做成陷阱題。
* 通常如果是斜的拋物線，就只會寫成點線距離=點到焦點的距離的式子，頂多平方後展開。

以下討論對稱軸平行$x=0$或$y=0$的拋物線。

* 先看開口，開口朝左右表$4c(x-h)=(y-k)^2$，朝上下就是熟悉的二次函數。
* 看頂點，頂點到焦點的距離是焦距，頂點和焦點連線與準線交點是頂點在準線上的投影點。
* 看到拋物線時，先寫出$d(P,L)=\overline{PF}$的條件提醒自己，然後在圖上做標記。

### 橢圓

* 式子$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$需滿足$2a>\overline{F_1F_2}$，因為有不等式，所以可以考各種極值問題，或是搭配二次函數的判別式來考。
* 橢圓標準式$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$，可以問一些求變數範圍的問題。
* 求$\text{xx}$點$\implies$設參數式。記得$\theta$不代表$\overline{OP}$與長軸的夾角($O$是橢圓中心)。
* 某點$P$在橢圓上：設$\overline{PF_1}=x,\overline{PF_2}=2a-x$(簡稱知$\overline{PF_1}$等同知$\overline{PF_2}$)
* 參數式可用三角函數的性質求最大最小，不會做就微分。
* 判別橢圓是橫的或直的？化成標準式再比分母。

例題：
女中段考考題，清大數學應數組二階筆試

座標平面上有一橢圓$\Gamma:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$，$F_1,F_2$分別為橢圓的左右焦點。
若$P\in\Gamma$，且$\angle F_1PF_2=60^{\circ}$，則$\triangle{F_1PF_2}$面積為何？

求面積：$\triangle=\dfrac{1}{2}ab\sin{C}$
有夾角，剩下$ab=?$
設$\overline{PF_1}=x,\overline{PF_2}=6-x$
依餘弦定理知$(2c)^2=4\times(9-4)=x^2+(6-x)^2-2x(6-x)\cos{\angle{F_1PF_2}}=x^2+(6-x)^2-x(6-x)$
想辦法整理成$x(6-x)=?$
$3x^2-18x+36=20\implies3x^2-18x=-16\implies x(6-x)=\dfrac{16}{3}$
因此$\triangle{F_1PF_2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{16}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

### 雙曲線

* 某點$P$在雙曲線上：設$\overline{PF_1}=x,\overline{PF_2}=2a-x$(簡稱知$\overline{PF_1}$等同知$\overline{PF_2}$)
* 式子$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}=2a|$需滿足$2a<\overline{F_1F_2}$，因為有不等式，所以可以考各種極值問題，或是搭配二次函數的判別式來考。
* 看到兩直線方程式相乘為定值$\implies$以兩直線為漸進線的雙曲線，再依定值判斷開口方向。

### 兩圖形共軸共焦點

1. 先求焦距
2. 求標準式
3. 依條件解聯立

## 極限

### 數列的極限

* 不定型：$\begin{cases}階乘指數對n\to\infty:(n^n>n!>2^n>n^2>\log{n})\\根式型：有理化分為分子有理化或分母有理化，想辦法變成能求極限值的。\\分式型：分子分母同除以分母最大者\end{cases}$
* 夾擠定理：找上下界$\begin{cases}分母越大，其值越小\\上下界極限值要能求出來\\一加一減或一乘一除\\取\log把相乘除化成相加減\end{cases}$
* 不會做就stolz定理(離散版羅畢達)
* 等比級數收斂條件可以拿來考不等式範圍。
* 若分子分母都是$n$的多項式，直接看分子和分母的最高次項來比較。
* $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{n+10^{3402}!}$發散，這代表只要是$n+c$，$c$是常數的話，在$n\to\infty$的情況下皆可以捨去。

比如：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[148]{|n|}}{\sqrt[7]{\sqrt[3]{\sqrt[7]{n-10^{501}}-100!}-100^{100!}}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[148]{|n|}}{\sqrt[147]{n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[\frac{147}{148}]{|n|}}{n}=0$

歛散性判斷

* 先求一般項，再解不定型
* 利用夾擠定理判斷上下界是否收斂。
* 若極限皆存在才有極限的四則運算。

黎曼和

* 先找$\dfrac{k}{n}$
* 看上下界是誰
* 化$f(\dfrac{k}{n})$變為$f(x)$
* 化為積分來求

例題：清大數學應數組二階筆試

若數列$a_n=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\log{(1-\dfrac{1}{k^2})}$，$n\ge2$，求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=?$

先求一般項：
$\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\log{(1-\dfrac{1}{k^2})}=\log(\displaystyle\prod_{k=2}^{n}(1-\dfrac{1}{k^2}))
\\=\log{(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})\dots(1-\dfrac{1}{n^2})}
\\=\log{(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})}
\\=\log{(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{4}\times\dots\times\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n})}
\\=\log{(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{n+1}{n})}
\\=-\log{2}+\log(\dfrac{n+1}{n})$

(求和$\implies$對消或背公式，選對消)

再求極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-\log{2}+\log{(\dfrac{n+1}{n})})=-\log{2}+\log{1}=-\log{2}$

### 函數的極限

* 函數連續的條件為左極限=右極限=函數值，如果用分段定義就要討論
* 極限存在不代表函數值在逼近的點存在。這會是陷阱題
* 求函數定義域時要考慮各種函數自帶什麼條件(尤其考$\log_a{x}$條件最多)，還有分母不可為$0$
* 求函數值域時，搭配各種最大最小的求法來解題
* 不定型通常是$\dfrac{0}{0}$型，此時利用因式分解可約分
* 夾擠定理跟數列一樣，上下界要能夠找出極限
* 不知道怎麼做時就羅畢達
* 判別是否為奇偶函數$\implies$用定義，檢驗$f(x)\overset{?}=-f(-x)$(奇函數)或是$f(x)\overset{?}=f(-x)$
* 奇函數關於原點對稱，偶函數關於某直線對稱，這可以考一些代換的問題。

## 微分

* 定義求導數，可令$x-a=h\to{0}\implies f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to{0}}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
* 定義不會做，直接羅畢達，不要管會不會循環論證，是考試不是證明。
* 可微必連續，逆敘述不成立，這會是陷阱題。
* $f'(a)=0$是臨界點，不能直接當成極值，所以要配合二階導數檢驗。
* 求出臨界點後，記得檢查函數自變數有沒有範圍限制，有範圍時畫圖切斷。

過一點$A(a,b)$對函數作切線，求切線方程式
檢驗$A$是否在函數上，若在函數上則其中一條(可能有多條)代公式：$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
一般解：
設切點$P(t,f(t))$
斜率$\dfrac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$
依條件解$t$，再代回點斜式。

## 積分

* 可搭配數列的黎曼和一起考。
* 看到一函數的定義式含有自己的定積分(比如$f(x)=3x^3+6x^2-x\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx+5$，求$\displaystyle\int_{3}^{5}f(x)dx=?$)就把定積分當未知數來做。
* 看到一函數的定義式含有自己的不定積分(比如$f(x)=3x^3+6x^2-\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)dt+5$，求$f(x)=?$)，先找次數，再設一般式，必要時兩邊微分解方程式。
* 求兩函數所圍面積：先求交點情況，再判斷正負
* 求函數與$x$軸或$y$軸所圍面積：先求根，再判斷正負
* 求旋轉體體積：要注意是繞誰旋轉，可把座標平面架在比較好做的那一個方向。

微積分綜合考題：
清大數學應數組二階筆試

設一函數$f(x)=x^2-x$與一點$A(2,1)$
* (1)試求過點$A$與且函數$f(x)$相切的兩條切線方程式$L_1,L_2$
* (2)求兩條切線與函數圖形所圍成的面積
* (3)證明若$P(a,b)$滿足$a^2-a<b$，則無法由$P$點引切線至$f(x)$上

(1)
先檢驗點$A$是否在函數圖形上
$4-2\not=1$所以$A$不在函數圖形上
因此假設切點為$Q(t,t^2-t)$，則$\overleftrightarrow{AQ}$斜率$m=\dfrac{t^2-t-1}{t-2}=f'(t)=2t-1$
所以$t^2-t-1=2t^2-5t+2\implies t^2-4t+3=0$
因此$t=3$或$1$，得到$m=5$或$1$
因為過$A(2,1)$，所以兩條直線方程式為$y-1=5(x-2)$與$y-1=x-2$

(2)

所以就會是$\displaystyle\int_{1}^{3}(x^2-x)dx-\dfrac{(1+6)\times1}{2}-\dfrac{1}{2}={(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2})}\Bigg{|}_{1}^{3}-4=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{6}-4=\dfrac{2}{3}$

(3)
$m_\overleftrightarrow{PQ}=\dfrac{t^2-t-b}{t-a}=2t-1$
$2t^2-2at-t+a=t^2-t-b$
$t^2-2at+a+b=0$
因為$a^2-a<b$，所以$4a^2-4(a+b)<0$
而此為樓上的一元二次方程式的判別式，所以方程式無實根，故此時無法由$P$引切線至$f(x)$的圖形上。