# 39
## Abstract
In diesem Experiement wurden für verschieden Kerne Hysteresekurven aufgenommen. Für PERMENORM
5000 H2 wurde dabei eine Remanenz von $B_{R_{5000H2}} = x \pm y$, für PERMENORM 5000 Z ein von $B_{R_{5000Z}} = x \pm y$ und für den Eisenkern eine von $B_{R_{Fe}} = x \pm y$ ermittelt. Die Koerzitivfeldstärkte wurde jeweils zu $H_{R_{5000H2}} = x \pm y$, $_{R_{5000Z}} = x \pm y$ und $H_{R_{Fe}} = x \pm y$ bestimmt. Für den Holzkern wurde eine relative Permeabilität von $\mu_{Holz} = x \pm y$ bestimmt. Zusätzlich werden die Entmagnetisierungsenergien zu $\frac{E}{m}_{5000 H2} = x \pm y$, $\frac{E}{m}_{5000 Z} = x \pm y$ und $\frac{E}{m}_{Fe} = x \pm y$ angegeben.
## Einleitung
Magneten haben ihre Anwendung in ziemlich allen elektronischen Geräten, die wir im Alltag benutzen. Ihre Verwendung geht über das heben von Lasten, bspw. auf der Müllhalde, bis hin zur Umwandlung von Spannungsstößen in akustischen Signale in einem Lautsprecher. Eine Besondere Bedeutung fällt dabei den Ferromagneten zu. Ihre Eigenschaft die Magnetisierung auch ohne äußeres Magnetfeld beizubehalten, macht sie in der Technischen Anwendung zur Verstärkung und Abschirmung von Magnetfeldern unadingbar. \\
Dabei kann der magnetische Flussdichte B nicht als charakteristische Funktion des äußeren Magnetfelds H beschrieben werden, weil diese mit der Vorgeschichte des Magneten zusammenhängt. Dieses Verhalten wird Hysterese genannt. Beschrieben werden kann jedoch das Phänomen der Remanenz, also den verbleibenden magnetische FLussdichte B des Ferromagneten ohne äußers Magnetfeld H, ebenso wie die Koerzitivfeldstärek, also die Feldstärke H, die es benötigt, den Ferromagneten zu entmagnetisieren. In diesem Versuch werden diese beiden Größen und die Sättigungsmagnetisierung untersucht.

## Theorie
Die magnetische Flussdichte B eines Materials und das äußere Magnetfeld hängen über folgende Relation zusammen:
\begin{equation}
\label{1}
B = \mu_0(H+M) = \mu_0(1+\chi_m)H = \mu_0 \mu_r H
\end{equation}
Mit der Feldstärke H, der Magnetisierung M, der magnetischen Feldkonstante $\mu_0$ der magnetischen Suszeptibilität $\chi_m$ und der relativen (stoffabhängigen) Permeabilitätszahl $\mu_r$. \\

Es werden nun drei unterschiedliche Verhalten von Materialien unterschieden: Bei Paramagnetenwird die Verstärkung des magnetischen Flusses durch ein zusätzliches inneres Feld, die Magnetisierung beschrieben. Diese wird durch atomare magnetische Dipole verursacht, die sich im äußeren Magnetfeld ausrichten. Für Paramagneten gilt $\chi_m >0$ und daraus folgend $\mu_r>1$. \cite{Eichler}}\\
Da in abgeschlossenen (Teil-)Schalen die magnetischen Bahn- und Spinmomente nach dem Pauliprinzip so angeordnet sind, dass diese sich aufheben, liefern nur die Hüllenelektronen einen Beitrag zum Paramagnetismus. Von Diamagnetismus spricht man, wenn alle Schalen abgeschlossen sind. Bei einem äußeren Feld H baut sich eine antiparallele Magnetisierung M auf. Es gilt also $\chi_m < 0$ und daruas folgend $\mu_r < 1$. Erklären lässt sich das klassisch dadurch, dass die einzelnen Elektronen eine Präzessionsbewegung um das äußere Magnetfeld beginnen und so das Feld M erzeugen, welches nach der Lenzschen Regel dem äußeren Feld entgegen ausgerichtet ist. Tatsächlich tritt Diamagnetismus in allen Materialien auf, ist aber meist gegen den stärkeren Para- oder Ferromagnetismus zu vernachlässigen.

Ferromagnetismus lässt sich nicht mehr alleine mit einzeln ausgerichteten Dipolmomenten der Hüllenelektronen erklären. Die magnetischen Momente richten sich gegenseitig zu Bereichen paralleler Momente aus. Diese Bereiche werden Weißsche Bezirke genannt. Die Grenze dieser Bezirke heißt Bloch-Wand. In einem Ferromagnet ohne magnetische Vorgeschichte sind die Ausrichtungen der Weißschen Bezirke zunächst statistisch Verteilt. Der Ferromagnet ist also noch gar kein makroskopischer Magnet. Wird ein äußeres Feld angelegt, so fangen die Bezirke mit der geringsten potentiellen Energie an zu wachsen. Die Bloch-Wände verschieben sich sprunghaft. Die Magnetisierung wächst, bis sich alle Weißschen Bezirke zu einem, entlang des äußeren Magnetfelds , ausgerichtet haben. Die Magnetisierung kann sich nun praktisch nicht mehr ändern. \cite{Eichler} Man spricht von Sättigungsmagnetisierung $B_S$. Dieser Prozess aus der Unmagnetisierung wird als Neukurve bezeichnet. Wird das äußere Magnetfeld wieder verringert, verteilt sich die Ausrichtung der Weißschen Bezirke aufgrund von thermischen Bewegungen. Der Ferromagnet geht aber deshalb nicht in seinen Ausgangszustand zurück. Einige der Weißschen Bezirke verbleiben ausgerichtet und sorgen so für einen nichtnegative Flussdichte, die Remanenz $B_R$ genannt wird. Die äußere Feldstärke, um den Ferromagnet zu entmagnetisieren, wird Koerzitivfeldstärke $H_C$ genannt. Technisch kann ein Ferromagnet entmagnetisiert werden, indem das Magnetfeld, bei abnehmenden Betrag, immer wieder umgepolt wird. \\
Bei der Unmagnetisierung geht Energie in Form von Wärme verloren. Die Unmagnetisierungsenergie pro Masse ist gegeben durch:
\begin{equation}
\frac{E}{m} = \frac{1}{\rho} \oint B dH
\end{equation}
Mit der Energie E, der Masse m und der Dichte des Kerns $\rho$.

## Aufnahme verschiedener Hysteresekurven
%Caption: label:Aubau%

Die Messung verfolgt der in Abb.\ref{Aufbau} dargestellten Methodik. Sowohl der Spannungsabfall am Widerstand $R$, als auch der Ausgang des Fluxmeters werden in den Pasco Analog-Digital-Wandler gegeben. Dies bringt den Vorteil, dass das Aufzeichnen der Hysteresekurve in Echtzeit geschehen kann. Der benutzte Widerstand wird vor Datenaufnahme mit einem Multimeter gemessen. Jede Messung kann in vier Schritte aufgeteilt werden. Der erste Schritt ist das aufdrehen der Spannung am Netzgerät auf einen vorher festgelegten Maximalwert. Danach wird die Spannung wieder auf Null erniedrigt. Durch Umschalten des Kommutierungsschalters wird dann die Schaltung umgepolt. Zuletzt werden Schritt eins und zwei wiederholt.\\

Mit dem Angegebenen Verfahren lässt sich damit die Spannung am Widerstand $U_R$, ${[U_R] = 1 \text{V}}$ und am Fluxmeter $U_F$, ${[U_F] = 1 \text{V}}$ messen. Da die magnetische Feldstärke $H$ nach Gleichung \eqref{H} proportional zum Spannungsabfall am Widerstand ist, lässt sich diese direkt berechnen.
\begin{equation}
H = U_R \frac{2N_1}{\pi R (d_i+d_a) }
\end{equation}
Hierbei wird der Widerstand $R$, $[R] = 1 \Omega$ die Windungszahl des Feld erzugenden Rings $N_1$, $[N_1] = 1$, der innere und äu\ss ere Durchmesseer $d_I,d_A$, $[d_A] = [d_I] = 1 \text{m}$.
Zur Bestimmung der magnetischen Flussdichte$B$ kann die induzierte Spannung $U_F$ genutzt werden. Darum wird diese mit der Fläche $A$, $[A] = 1\text{m}^2$, der Windungszahl der Induktionsspule $N_2$, $[N_2] = 1 $ und der Empfindlichkeit des Fu\ss meters $E_F$ in Gleichung \eqref{B} eingesetzt.
\begin{equation}
B = U_F \frac{E_F}{N_2 A}
\end{equation}
Es wird angenommenen, dass die Magnetfeld durchströmte Fläche $A$ der Ringkerne mit einem Rechteck genähert werden kann. Um durch diese Näherung aufkommenden Fehler zu unterdrücken, wird ein Korrektur durch den Füllfaktor $\gamma$, $[\gamma] = 1$ vorgenommen. Die Fläche kann damit bestimmt werden durch \eqref{A}, hier ist $h$ die Höhe,${[h] = 1 \text{m}}$
\begin{equation}
A = \gamma \frac{ h (d_A-d_i)}{2}
\end{equation}
Die zur Berechnung wichtigen Daten sind gegeben in Tabelle \ref{data}. Alle aufgelisteten Ringkerne haben einen äu\ss eren Durchmesser von
${d_{A} = 260 \ \text{mm}}$, einen inneren Durchmesser von ${d_{I} = 220 \ \text{mm}}$ und eine Höhe von ${h = 30 \ \text{mm}}$

| | Fe-Ni H2 | Fe-Ni Z| Flachstahl | Holz |
| ----|---- | -------- | -------- |- |
|$N_1$ | 605 | 610 | 1010 | 1010 | |$N_2$ | 80 | 56 | 53 | 250 |
|Füllfaktor | 90\% | 90\% | 100\% |100\%|

%caption: Technische Daten der verwendeten Ringkerne. $N_1$ ist die Anzahl der Windungen der Induktionspule. $N_2$ ist die Anzahl der Windungen der felderzeugenden Spule. Der Füllfaktor ist das Verhältnis zwischen geometrischen und Materialquerschnitt label: data%
### Remanenz und Koerzitivfeldstärke verschiedener Materialien

Um das Verhalten der Hysterese verschiedener Material zu überprüfen, soll als erstes deren Material spezifische Parameter überprüft werden. Dazu sollen Remanenz $B_R$, Koerzitivfeldstärke $H_c$ und die Sättigungsmagnetisierung $B_S$ bestimmt werden.
Alle diese Grö\ss en lassen sich direkt aus dem jeweiligen Hysteresebild bestimmen.
Die Remanenz $B_R$ ist der Schnitt zwischen Neukurve und der Y-Achse, also folglich wenn $H = 0$. Die Auswertung gelingt durch Ansetzen einer Geraden nahe des Punktes, vergleiche die grüne Gerade in \ref{bestimmung}.
Auch die Koerzitivfeldstärke $H_c$ kann durch eine lineare Anpassung bestimmt werden. Dazu wird in die Flanke der Neukurve eine Gerade gelegt, vgl die rote Gerade in \ref{bestimmung}. Durch die Parameter der Geraden dem Schnittpunkt $a$ und der Steigung $b$ kann damit $H_c$ nach Gleichung \eqref{HC} bestimmt werden.
\begin{equation}
H_C = \frac{-a}{b}
\end{equation}
Zuletzt wird auch die Sättigungsmagnetisierung $B_S$ bestimmt, hierbei eignet sich eine Konstant Anpassung, folglich eine Gerade mit fester Steigung 0 zu, sehen in blau in \ref{bestimmung}.


%caption: Hysteresekurve Flachstahl. Zur Bestimmung der $B_r$ Remanenz, $H_c$ Koerzitivfeldstärke und der Sättigung $S$ wird ein linerare Fit verwendet, label: bestimmung%

Da bei jeder Hysterekurve die gesuchten Parameter zweimal bestimmt werden, muss noch der gewichtete Mittelwert aus beiden berechnet werden. Die Fehler der Parameter werden über Gau\\s ische Fehlerrechnung bestimmt. Die bestimmten Werte sind in Tab. \ref{werte} zu finden.

| | $B_r$ | $H_c$ |$S$ |
| -------- | -------- | -------- |-------- |
|Ne-Fe 5000 H2|$0.652995\pm0.000081$|$3,299457909\pm0,064549849$|$1,444534\pm0,000380554$|
|Flachstahl|$0,54423\pm0,000181164$|$351,2702946\pm2,809692944$|$1,4875125\pm7,50464E-05$|
|Ne-Fe 5000 Z|$1,4263765\pm0,000112432$|$13,55710245\pm0,331084143$|$1,433889\pm0,000299059$|

%caption: Remanenz $B_r$, Koerzitivfeldstärke $H_c$ und Sättigung $S$ verschiedener Materialien label: remanenz %
### Magnetische Permeabilität an Holz
Um die ermittelten Werte der verschiedenen Ferromagnetika mit einem nicht ferromagnetischen Material vergleichen zu können, wurde in diesem Teil des Versuchs ein Holzkern verwendet. Sofort ist ersichtlich, dass es keine Hysteresekurve gibt. Der Zusammenhang ist wie es \ref{1} beschreibt linear. Auffällig ist außerdem, dass im Vergleich zu den Ferromagnetika die magnetische Flussdichte um mehrere Größenordnungen kleiner ist. Die Steigung der Geraden entspricht $\mu_0 \mu_{Holz}$ und wir durch lineare Regression mit Fehler bestimmt. Mit der magnetischen Feldkonstante $\mu_0 = 12.566 370 614... \cdot 10^{−7}\ \frac{\text{N}}{\text{A}^2}$\cite{codata} berechnet sich $\mu_{Holz}$ zu:
\begin{equation*}
\mu_{Holz} = 1.8510 \pm 0.0030
\end{equation*}
Das stuft das verwendet Holz als Paramagneten ein. Das ist aufgrund der zwei Elektronen von Kohlenstoff in den 2px- und 2py-Orbitalen zu erwarten.

Schnittpunkt: $3,31464E-4\pm3,41908E-6$
Steigung: $2,32606E-6 \pm 3,79621E-9$
### Entmangnetisierung eines Eisenkerns
In der Aufnahme der zweiten Hysterese Kurve wurde der Effekt einer Richtungsänderung in der Kurve untersucht. Hierfür wurde eine Hysteresekurve erst komplett durchlaufen und dann im zweiten Durchlauf jeweils kurz vor dem Nulldurchgang die Richtung der Kurve umgedreht, wie ersichtlich in \ref{innere}. In der Durchführung wurde dabei etwas zaghaft vorgegangen. Trotzdem ist eine kleine innere Hysteresekurve, ebenfalls mit mathematisch positiven Umlauf, zu beobachten. Dieses Verhalten wurde auch bei der Entmagnetisierung des Eisenkerns benutz, wie es in \ref{entmag} zu sehen ist. Hier sind die immer kleiner werdenden inneren Hysteresekurven um den Nullpunkt ungleich besser zu beobachten, weil die Spannung weniger Zaghaft verändert wurde.

\caption: Innere Hysteresekurve bei kurzeitiger Umkehrung der Durchlaufsrichtung des Eisenkerns. In den Inlets sind jeweils die inneren Kurven hervorgehoben und die Durchlaufsrichtung mit Pfeilen markiert.
\labe{innere}


%caption: Verdeutlichung des Entmagnetisierung Prozess an Flachstahl. Dazu Vergrößerung der Spiralmitte.Die roten Pfeile verdeutlichen die Pfadabhängigkeit label: entmag %

### Unmagnetisierung
Eine weiterer Aspekt der für die Konstruktion von elektromagnetischen Komponenten ist der Energieverlust durch Entmagnetisierung. Die Energie, welche zur Magnetisierung des Kerns führt, kann nicht vollkommen zurückgewonnenen werden. Diese verlorene Wärme wird durch Formel \eqref{wärme} bestimmt. Zur Bestimmung der Fläche wird ein das numerische Verfahren der Romberg Methode verwendet. Der Fehler der Flächenberechnung beziehen sich auf die Genauigkeit des Verfahrens. Die verwendete Dichte ist bei den Eisen-Nickel Legierungen ${\rho = 8.25 \ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$ und beim Eisen Kern ${\rho = 7.80 \ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}}$ \cite{praktikum}.
Es ist zu sehen, dass der Stahl mit ${0.26016 \pm 0.00030
\ \frac{\text{J}}{\text{kg}} }$ einen viel größeren Verlust hat als die Eisen Nickel Legierung H2 ${2.6169 \pm 0,0034\ \frac{\text{mJ}}{\text{kg}}}$ und die Legierung Z ${9.5583\pm 0.0026\cdot 10^{-3}} \ \frac{\text{J}}{\text{kg}}$. Dies ist aber auch nicht verwunderlich, da bereits bei Betrachtung der Hysteresekurven der Flächen Unterschied auffällt.
Die Betrachtete Skala der Feldstärke ist um einiges kleiner bei Abb. \ref{eisennickel} als die selbige bei Abb.\ref{bestimmung}.

\\
Aus diesen Grund eignet sich kommerziell die Eisen Nickel Legierung besser zur Herstellung von Elektromagneten.
## Zusammenfassung
In diesem Versuch wurden Hysteresekurven für zwei Eisen-Nickel Legierungen, einen Eisenkern und einen Holzkern aufgenommen. Aus der Hysteresekurve wurde jeweils die Remanenz $B_C$, die Koerzitivfeldstärke $H_C$, die Sättigungsmagnetisierung $B_S$ und die Unmagnetisierungsverluste $\frac{E}{m}$ ermittelt. Für die Legierung PERMENORM5000 H2 ergibt sich so $B_S = x \pm y$, $H_C = x \pm y$, $B_S = x \pm y$ und $\frac{E}{m} = x \pm y$. Für die Legierung PERMENORM 5000 Z wurden in gleicher Art $B_S = x \pm y$, $H_C = x \pm y$, $B_S = x \pm y$ und $\frac{E}{m} = x \pm y$ berechnet. Analoges vorgehen, führt für den Eisenkern auf $B_S = x \pm y$, $H_C = x \pm y$, $B_S = x \pm y$ und $\frac{E}{m} = x \pm y$. Hier wurde zusätzlich der Effekt einer Richtungsänderung in der Kurve beobachtet und anschließend wurde der Kern entmagnetisiert. Da der Holzkern kein Ferromagnetika ist, war auch keine Hysteresekurve zu beobachten. Stattdessen wurde die relative Permeabilität von Holz zu $\mu_{Holz} = x \pm y$ errechnet.
Alle beobachteten Verläufe der $B(H)$ folgen qualitativ der theoretischen Erwartung.

## Literatur

### Verbesserung

Das stuft das verwendet Holz als Paramagneten ein. Ein direkter Literatur Vergleich fällt jedoch schwer, da die genau Art des verwendeten Holz unbekannt ist. Da Holz jedoch primär aus Cellulose besteht, kann somit eine Abwägung gemacht werden. Die Suszeptibilität von Cellulose ist ${\chi_{Cel} =5.33 \cdot 10^{-6 } \ \frac{\text{V s}}{\text{A m}}}$\cite{holz}. Damit ist die Permeabilität geringfügig größer eins und ist somit nicht mit dem bestimmten Wert vereinbar. Eine Erklärung dafür lässt sich möglicherweise im Versuchsaufbau finden. Die verwendeten Ringkerne sind aufeinander, durch Platten getrennt, gestapelt. Auch das Innenleben des Versuchs ist nicht genau bekannt. Damit liegt nahe, dass eine aufbauenden Magnetisierung im System das Ergebnis um einiges größer ausfallen lässt. Ob die deutliche Abweichung dabei in den Blechplatten, den anderen Ringkerne oder sonstigen Komponenten ihren Ursprung findet, ist nicht klar bestimmt. Sollte es sich aber nicht um ein sehr ungewöhnliches Holz als Kern gehandelt haben, ist davon auszugehen, dass nicht nur die Permeabilität des Holzes gemessen wurde.