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title: 交流電路分析：相量與RLC元件

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# 交流電路分析：相量與RLC元件

## 1. 使用相量描述交流信號

**時域與相量域：**
- 交流信號：$v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$
  - $V_m$：最大振幅（峰值），表示信號的最大值
  - $\omega$：角頻率，單位為弧度/秒，$\omega = 2\pi f$，其中 $f$ 為頻率（赫茲）
  - $\theta$：初始相位角，表示信號起始時的相位位置
- 相量表示法：$\underline{V} = V_m e^{j\theta} = V_m\angle\theta$

**時域訊號轉換為相量的過程：**
1. 識別振幅 $V_m$、角頻率 $\omega$ 和相位角 $\theta$
2. 使用歐拉公式：$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$
   - 這是複數分析中的基本公式，連接了指數函數與三角函數
   - $j$ 為虛數單位，$j^2 = -1$
   - 幾何意義：在複平面上，$e^{j\theta}$ 表示一個半徑為1、角度為 $\theta$ 的點
   - 當乘以振幅 $V_m$ 時，得到 $V_m e^{j\theta}$，表示半徑為 $V_m$、角度為 $\theta$ 的點
3. 將時域表達式 $v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$ 改寫為複數形式：$v(t) = \text{Im}[V_m e^{j(\omega t + \theta)}]$
4. 分離時變部分：$v(t) = \text{Im}[V_m e^{j\theta} \cdot e^{j\omega t}]$
5. 提取相量 $\underline{V} = V_m e^{j\theta} = V_m\angle\theta$（不含時變部分 $e^{j\omega t}$）

**相量的優點：**
- 將微分方程轉換為代數方程
- 簡化不同相位信號的相加
- 允許對幅度和相位進行視覺化表示

**例子：** $v(t) = 5\sin(120\pi t + \theta)$ → $\underline{V} = 5\angle\theta$

## 2. 交流信號與相量的測量

**關鍵測量參數：**
- 振幅（峰值、峰峰值、均方根值）
- 頻率/週期
- 相位角

**測量儀器：**
- 示波器：時域可視化
- 頻譜分析儀：頻域分析
- 向量網絡分析儀：幅度和相位測量

**實用技巧：**
- 使用適當的接地技術
- 設置合適的時間/格和電壓/格刻度
- 使用適當的觸發設定以獲得穩定波形顯示

## 3. 實驗：電阻、電感和電容元件

**元件相量關係：**
- 電阻：$\underline{V_R} = I\underline{Z_R} = IR\angle0°$（電流和電壓同相）
  - 阻抗計算：$Z_R = R$
- 電感：$\underline{V_L} = I\underline{Z_L} = I\omega L\angle90°$（電壓超前電流90°）
  - 阻抗計算：$Z_L = j\omega L$
- 電容：$\underline{V_C} = I\underline{Z_C} = \frac{I}{\omega C}\angle-90°$（電壓落後電流90°）
  - 阻抗計算：$Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}$

**串聯與並聯阻抗計算：**
- 串聯電路總阻抗：$Z_{total} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n$
- 並聯電路總阻抗：$\frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + ... + \frac{1}{Z_n}$

**RLC串聯電路的總阻抗：**
- $Z_{total} = R + j\omega L - j\frac{1}{\omega C} = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$
- 阻抗大小：$|Z_{total}| = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$
- 相位角：$\theta = \tan^{-1}(\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R})$

## 4. 本次實驗內容

**實驗目標：**
- 驗證阻抗關係
- 觀察電壓與電流之間的相位關係
- 測量RLC電路中的諧振

**安全提醒：**
- 更換電路元件前務必關閉電源
- 使用適合元件的電壓水平
- 接通電源前仔細檢查連接

**實驗器材**
- 訊號產生器
- 示波器

**實驗元件**
- 電阻：$1.2 k\Omega$、$1.5 k\Omega$
- 電感：$10 mH$、$4.7mH$

**實驗電路**

- 實驗電路【A】
    - 輸入信號：$V_m = 6V$ $30kHz$ 正弦($sin(\theta)$)
    ![0422_A](https://hackmd.io/_uploads/BkZla3EJle.jpg)
    
- 實驗電路【B】
    - 輸入信號：$V_m = 6V$ $30kHz$ 正弦($sin(\theta)$)
   ![0422_B](https://hackmd.io/_uploads/r1gbpnEkeg.jpg)
