# Qubit
## 前情提要
在上一話中，我們發現了
* 用複數來表達機率幅的物理意義。**實際的機率是複數的絕對值平方**。
* **觀測不可避免地，會影響粒子的狀態**

## Qubit (feat. 電子)

### 電子 as a bit
我們知道在一般的電腦中，要表達一個 0/1 bit，可以用電壓的高低來表達。現在如果要用一個電子來表達一個 0/1 bit，可以利用原子中，電子的態是離散的這個性質。

只要控制好注入的能量，避免電子跑到第一層以上的能階，就可以**用 基態/激發態 來表達 0/1**。

這邊用 $|0\rangle$、$|1\rangle$ 來表達量子的 0-bit、1-bit。(Dirac's Bra-Ket Notation)

### 疊加態

但電子通常不會「決定好自己待在哪一層」
而是處在「部份機率在觀測後變成 $|0\rangle$、部份機率在觀測後變成 $|1\rangle$」。（觀測會影響狀態，這點在前一話也有提到）

我們可以對「它是在 $|0\rangle$ 還是 $|1\rangle$」這件事，進行一次觀測
然後它會以相應的機率變成 $|0\rangle$或 $|1\rangle$
比方說「1/3 變成 $|0\rangle$、2/3 變成 $|1\rangle$」這樣的狀態
這樣的狀態稱為**量子態**
每個量子態都可以對應到一個線性空間內的元素。

可以用 $(\alpha|0\rangle+ \beta |1\rangle)$ 來表達一個量子態，$\alpha$ 和 $\beta$ 為複數，意義為機率幅
需滿足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$
=> 每個量子態都可以對應到線性空間 $\mathbb{C}^2$ 下的元素

這個狀態在觀測後，
* 變成 $|0\rangle$的機率為 $|\alpha|^2$
* 變成 $|1\rangle$的機率為 $|\beta|^2$

比方說，
$(\frac{1}{\sqrt{2}}i|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)$ 這個量子態就有
* $|\frac{1}{\sqrt{2}}i|^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}^2 = \frac{1}{2}$ 的機率觀測後變成 $|0\rangle$
* $|-\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}^2 = \frac{1}{2}$ 的機率觀測後變成 $|1\rangle$

然後 $|0\rangle$和 $|1\rangle$本身也是一個量子態，分別對應到
$(1|0\rangle +0|1\rangle)$
和
$(0|0\rangle +1|1\rangle)$

除了 $|0\rangle$和 $|1\rangle$，還有另外兩個量子態有特別的名字：
$|+\rangle= (\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)$
$|-\rangle= (\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)$


###

但 $(|0\rangle$, $|1\rangle)$ 也只是空間中，無限多組 orthonormal basis （正交且長度為 1）的其中一組。
比方說，$(|+\rangle$, $|-\rangle)$ 也是一組 orthonormal basis 。
既然能針對 $(|0\rangle$, $|1\rangle)$，當然也能對 $(|+\rangle$, $|-\rangle)$ 進行觀測。

一個量子態在觀測後，為 $|+\rangle/|-\rangle$ 的機率，與 $|0\rangle/|1\rangle$ 的情況相仿：
先把那個量子態描述成 $|+\rangle/|-\rangle$ 的線性組合
$(\alpha|+\rangle+ \beta |-\rangle)$

這個狀態在觀測後，
- 變成 $|+\rangle$的機率為 $|\alpha|^2$
- 變成 $|-\rangle$的機率為 $|\beta|^2$

因此，觀測的本質實際上是

def 觀測(quantum, basis):
    #basis needed to be orthogonal and normalized
    prob = []
    for b in basis:
        prob.append(abs(<quantum.state|b>)**2) #inner product
    quantum.state = random.choices(basis, itertools.accumulate(prob))[0]
    return quantum.state

可是 $(|0\rangle$, $|1\rangle)$ 有著明確的物理意義（基態、激發態），對這組基底合情合理，而 $(|+\rangle$, $|-\rangle)$ 不知道是什麼鬼 orz

改成用偏振光的例子會好想像很多。

## Qubit (feat. 光子)
### 偏振光
我們高中教了啥來著？
在光束前放置垂直和水平的偏振片，光將無法通過。
但在兩片偏振片中間放第三片斜的偏振片，光就可以通過了。

將光視為粒子時，這便是量子測量的一種展現。
光在相同的行徑方向中，也會有不同的偏振角度。這些不同的偏振角度就構成了上述的 $\mathbb{C}^2$ 空間。
接下來使用箭頭來表示這些偏振角度對應的量子態。

讓光束通過偏振片，實際上就是在對光子進行測量。

一開始讓光通過垂直的偏振片，相當於選定了 $(\lvert\uparrow\rangle,\lvert\rightarrow\rangle)$ 這組基底做測量（測量後所有光子都會屬於兩個量子態之一），然後讓 $\lvert\uparrow\rangle$ 通過，擋下 $\lvert\rightarrow\rangle$

接著，讓光通過斜的偏振片，相當於選定了 $(\lvert\nearrow\rangle
,\lvert\nwarrow\rangle)$ 來測量，並允許 $\lvert\nearrow\rangle$ 通過。
由於 $\lvert\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\lvert\nearrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\lvert\nwarrow\rangle$，有 $\frac{1}{2}$ 的光子可以通過。

同理，再通過水平偏振片，會有再 $\frac{1}{2}$ 的光子變成 $\lvert\rightarrow\rangle$ 可以通過。

另一方面，倘若沒有通過斜的偏振片，在垂直偏振片後直接放水平的，那麼觀測到 $\lvert\uparrow\rangle$ 變成 $\lvert\rightarrow\rangle$ 為 $0$，因此不會有光子通過。