> KGJ0717（柯俊杰）開始撰寫於 2024 年 9 月 21 日。

複習一下前一回 **[統計學（二）統計結果的摘要](https://hackmd.io/@KGJ0717/BkyniQtaC)** 提到的重要觀念。
1. **敘述統計學** 利用 **統計圖表** 與 **摘要統計量** 來簡化、整理統計結果。但大部分的統計量只能用於量化資料，僅有 **眾數可以用在質化資料**。
2. 描述統計結果中心位置的摘要統計量為 **均量**，包含 **眾數**、**中位數**，以及各種 **平均數**。
3. 描述統計結果偏離中心位置的分散度的摘要統計量為 **差量**，包含 **全距**、**四分位距**、**四分位差**、**平均絕對偏差**、**標準偏差**。
4. 在將統計數據進行線性變換之後，**均量** 會跟著線性變換，而 **差量** 只受伸縮影響。
5. 資料標準化是透過 **將資料扣掉平均再除以標準偏差**（公式如下）來移除掉單位，讓不同度量衡的資料點可以相互比較。
${\displaystyle z_{i}=\frac{x_{i}-\mu_{x}}{σ_{x}}}$
6. **盒狀圖**、**小提琴圖** 也是量化資料中常見的統計圖！
7. **離群值** 會嚴重影響 **平均數** 的計算，可以透過 **四分位距** 或 **標準差** 來判定。

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在進入推論統計學之前，必須先學習 **機率論**，因為推論統計學必定會涉及 **抽樣**。為了確保樣本具有 **代表性**，通常會選擇 **簡單隨機抽樣**。而這種抽樣方法的理論基礎就是 **機率論**。

隨著 **機率論（probability theory）** 被完善，並且被加到統計學之中，更是現代統計學的重要根基。**機率論** 主要研究的對象為 **隨機** 過程，也就是一切跟隨著機率走，因此這一回將會從機率開篇論述，最後收尾再回到統計學。

# 機率論（probability theory）
現在的高中課綱中，有一個章節專門提及 **主觀機率（subjective probability）** 與 **客觀機率（objective probability）** 的分別。筆者認為此章節的設計並非為了教導機率論或統計概念，純粹是為了提升素養而設計的課程。**主觀機率** 只是一種心理感受，不論該人累積多少人生經驗、有過多少實驗記錄，或基於多少個正當且專業的理由，只要不透過實際的實驗、數學計算而得出來的數值，都僅僅只是被稱為 **主觀機率** 的心理感受；反之，**客觀機率** 完全需要透過長期或大量的實驗、紀錄、統計後，得到事件所佔的相對次數，因此又稱為 **實驗機率（experimental probability）**。

機率論中，將所有隨機過程可能得到的各種不同的結果總結起來，稱之為 **樣本空間（sample space，Ω）**，而每一種所想探討的狀況或情形，則被稱之為 **事件（event）**（套用集合論的概念，**事件是樣本空間的一個子集**）。**事件** 佔據 **樣本空間** 的比例（相對次數）則稱之為 **機率（probability, $P$）** 或 **機率測度（probability measure）**

機率論可以用來描述 **隨機過程**，這也是統計學 **隨機抽樣** 的理論基礎，因此在進入推論統計學之前，必須先將機率論學會。這個理論最早出現在 *布萊茲‧帕斯卡* 與 *皮耶·費馬* 在書信中討論賭博遊戲。後來經由*惠更斯*、*伯努利*、*棣美弗*、*拉普拉斯*、*高斯*、*卜瓦松*、*卡爾達諾* 以及 *科摩哥洛夫* 等人的努力，將機率論研究的更加完善。現代機率論由前蘇聯數學家 *科摩哥洛夫* 於 1933 年建立公理化。

### 事件的計算
不同的事件之間會有些相互關係，可以透過 **集合論** 的方式來表達。英國數學家、邏輯學家、哲學家 *約翰·維恩* 在 1880 的論文中首創了 **文氏圖（維恩圖，Venn diagram）** 的表現方式。在此也利用 **文氏圖** 來視覺化事件之間的交互關係，喚醒讀者高中數學的記憶。


### 機率公理（probability axioms）
這是前蘇聯數學家 *安德雷·科摩哥洛夫* 在 1933 年所建立的機率公理，因此也被稱為 **科摩哥洛夫公設（Kolmogorov axioms）**。這三條機率公理是所有機率都必須遵守的規定。
1. 第一公理：機率非負性
所有的機率值必定為介於 0 跟 1 之間的實數。0 表示必然不發生，1 表示必然發生。
數學式為 ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1\ (A\in Ω)}$

2. 第二公理：總機率歸一
樣本空間的總機率值會是 1。
數學式為 ${\displaystyle P(Ω)=1}$

3. 第三公理：機率可加性
**互斥** 事件的機率具有可加成性。
若 ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$，則 ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

### 古典機率（classical probability）
這個機率的定義是由法國數學家 *皮耶爾-西門·拉普拉斯* 所提出來的，故又稱為 **拉普拉斯機率（Laplace probability）**。這種機率的計算前提有 2 點：
1. **有限性**：樣本空間中的可能性是可數、有限數量的。
2. **均等性**：樣本空間中，各種可能性必須具有同等機率。

例如丟擲一顆公正骰子，其結果只有 6 種（有限性），且這 6 種可能的出現機會都是 ${\displaystyle \frac{1}{6}}$（均等性），因此可以屬於古典機率。

計算方式為 ${\displaystyle P_{A}=\frac{number \ of \ samples \ in \ event \ A}{number \ of \ samples \ in \ sample \ space \ Ω}}$

### 統計機率（statistic probability）
然而古典機率非常理想化，也不是那麼常見。在不了解一現象的原理時，我們很難真的確定該現象是否屬於古典機率的範疇。因此英國邏輯學家 *約翰·維恩* 和奧地利數學家 *理察·米澤斯* 提出 **統計機率** 的概念。認為獲得一個事件機率的方法，就是進行 100 次、1000 次，甚至於 10000 次的獨立試驗，記錄下來並且觀察該事件出現的 **相對次數**。當獨立試驗的次數足夠多時，此事件發生的 **相對次數** 就會趨近於該事件真正的發生機率。

寫成數學式子就會是 ${\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(A)}$

### 條件機率（conditional probability）
表示在一個 **給定的已知條件 B** 之下（例如某事件 B 已經發生），某事件 A 發生（也就是 A 與 B 同時發生）的機率，其公式及 **文氏圖** 如下：

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

既然已經確定 B 事件必然發生（**條件**），那麼就可以透過 **條件** 來重新改變樣本空間，只需要討論 B 事件必然發生的情況下，A 事件發生機會有多高即可。

**條件機率** 會很大程度受到 **條件** 的影響。但要特別注意的是，**條件機率並不能表達因果關係**，A 事件也可能先於 B 事件，所以不能利用條件機率來作因果關係的判斷，這是邏輯錯誤的行為。

從 **條件機率** 的數學定義式出發，將算式移項後可以得到 **機率的乘法原理**： ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)．P(B)}$

### 貝氏定理（Bayes' law ）
*托馬斯·貝斯* Thomas Bayes 於 1763 年提出，這是一種基於 **條件機率** 的演算法，用來從已知的機率分布中推導出未知的條件機率。後來法國數學家 *皮埃爾-西蒙·拉普拉斯* 在 *托馬斯·貝斯* 的基礎上，發展出了 **貝氏統計（Bayesian statistics）**，成為了現代醫學、金融經濟與機器學習的一大理論基礎。貝氏定理的數學表達式如下：

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A)P(B\mid A)}{P(B)}}}$

其中，$P(A\mid B)$ 為已知 B 事件發生後，A 事件發生的條件機率，又稱為**事後機率（posterior probability）**，相對而言，$P(A)$ 則稱為 **事前機率（prior probability）**；同理，$P(B\mid A)$ 為已知 A 事件發生後，B 事件發生的條件機率，但在貝氏定理中又被稱為 **可能性** 或 **概似性（likelihood）**，而 $P(B)$ 則另外被稱為 **邊際機率（marginal probability）**。

筆者自從拿到駕照之後，就得要小心開車，因此在這邊舉一個酒測的例子。我們可以把 **有喝酒** 跟 **酒測超標** 分別定義成 A 事件跟 B 事件。假設根據先前的經驗，找來一群 **有喝酒** 的人進行酒測，統計機率為 **喝酒的人有 99 % 的機率酒測超標**，可以表示成 $P(酒測超標|有喝酒)=0.99$ 及 $P(酒測未超標|有喝酒)=0.01$；另外為了確保這種酒測器的誤抓狀況，因此也找來了一群 **沒喝酒** 的人進行酒測，統計機率為 **沒喝酒的人有 95 % 的機率酒測值不會超標**，因此可以表示成 $P(酒測超標|沒喝酒)=0.05$ 及 $P(酒測未超標|沒喝酒)=0.95$，利用表格表示如下：

| 酒測機率 | 有喝酒 | 沒喝酒 |
|:----------:|:------:|:------:|
| 酒測超標 | 0.99 | 0.05 |
| 酒測沒超標 | 0.01 | 0.95 |

這時候，若筆者開車行經承德路四段，被警察攔檢並酒測。結果顯示酒測超標，那麼再給定酒測超標的情況下，到底筆者是否有喝酒呢？根據貝氏定理，可以列出以下數學式：

${\displaystyle P(有喝酒\mid 酒測超標)={\frac {P(有喝酒)P(酒測超標\mid 有喝酒)}{P(酒測超標)}}}$

因為酒測超標的情況有兩種，分別是喝酒後酒測超標 $P(酒測超標|喝酒)$ 跟沒喝酒但酒測超標 $P(酒測超標|沒喝酒)$，因此可以將數學式改寫成以下形式：

${\displaystyle P(有喝酒\mid 酒測超標)={\frac {P(有喝酒)P(酒測超標\mid 有喝酒)}{P(有喝酒)P(酒測超標|有喝酒)+P(沒喝酒)P(酒測超標|沒喝酒)}}}$

若根據長期的社會調查顯示，會開車行經承德路四段的人們，喝酒的比例佔 3%（其實超級高的ㄟ），也就是 $P(有喝酒)=0.03$ 和 $P(沒喝酒)=0.97$。將這筆資料帶入計算：

${\displaystyle P(有喝酒\mid 酒測超標)={\frac {0.03*0.99}{0.03*0.99+0.97*0.05}} \approx 0.38 }$

在這個情況下，精通統計學的筆者可以向警察宣稱，根據 **貝式定理**，在酒測值超標的條件下，筆者確實有喝酒的機率僅有 38 %，逃過一劫。

###### （雖然警察應該只是覺得喝酒的人頭腦不會這麼清楚而已）

### 獨立（independence）與互斥（mutually exclusive）
**獨立** 與 **互斥** 是兩個 **機率論** 中，許多國高中生很容易搞混的概念。

先來說說 **互斥**，這個詞意味著兩個事件之間互相排斥，也就是說兩者不會同時出現。用機率論的語言來寫就是 ${\displaystyle P(A \cap B)=0}$，兩件事沒有交集。文氏圖的表達方式在前面事件的計算。

而 **獨立** 則是 **機率論** 中被大力強調，甚至於成為強烈的基本假設。兩事件獨立代表兩件事情沒有關聯性，既不存在共同出現的關係，當然也不存在排斥對方的關係。根據以上對於 **獨立** 的描述，我們可以推理出一個結論 **有沒有給條件 B，都不會影響事件 A 的機率**，換言之，給定 B 事件發生或不發生的條件，事件 A 的條件機率都跟原本事件 A 本身的機率相同，用機率論的語言來寫就是 ${\displaystyle P(A)=P(A \mid B')=P(A \mid B)=\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$。

將其移項後可得 ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)．P(B)}$，這就是兩事件獨立的檢查式。

若要檢查三個事件之間是否獨立，除了檢查三個事件中兩兩是否互相獨立之外，還需要檢查三個事件是否都獨立，也就是要檢查以下四個式子：
1. ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)．P(B)}$
2. ${\displaystyle P(B\cap C)=P(B)．P(C)}$
3. ${\displaystyle P(C\cap A)=P(C)．P(A)}$
4. ${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)．P(B)．P(C)}$

# 隨機變數（random variable）
**隨機變數** 作為一種數學概念，是用來描述從樣本空間對應到測量資料的映射函數。在統計學中，隨機變數代表的是 **研究者主觀欲研究之對象群體的某特徵**，為了能夠承接後續的計算，並且引入機率論，通常 **隨機變數代表的是 感興趣對象群體之特徵對應到實數的一個函數**。

好，我知道上述的學術性定義讀者們應該看得一頭霧水，難以理解。我們不妨從幾個簡單的例子來了解隨機變數的功能性定義。

* 對於擲一次硬幣的例子來說，可能出現的結果為 **正面** 與 **反面**，因此樣本空間應該要寫成 { 正面、反面 }。若將正面定義為 1，反面定義為 0，則隨機變數可以表達為 $X(正面)=1$、$X(反面)=0$。
* 換成擲骰子的話，隨機變數就會是 $X(⚀)=1$、$X(⚁)=2$、$X(⚂)=3$、$X(⚃)=4$、$X(⚄)=5$、$X(⚅)=6$。
* 如果是量身高的例子，那麼隨機變數可以表達成 $X(身高為\ h\ cm)=h$，其中 $h$ 可以為任意實數值。

從上述這三個例子，應該可以更明確了解 **隨機變數** 的意義了。從中也可以發現隨機變數大致上可以分成 **離散型** 與 **連續型** 兩種。這其實也與資料類型有很大的關係，可以快速複習一下資料類型與隨機變數之間的關係：
| 資料尺度 | 意義 | 實際例子 | 隨機變數 |
|:--------:|:--------------------------:|:----------:|:--------------:|
| 名目 | 僅用來表示不同類別的資料 | 性別、職業 | 離散型＊ |
| 排序 | 不同類別之間具有順序性 | 名次、等第 | 離散型＊ |
| 等距 | 可以比較資料間的相對差異 | 年級、氣溫 | 離散型、連續型 |
| 比例 | 資料數值具有絕對差異的性質 | 身高、體重 | 連續型 |

>＊註：需要明確定義隨機變數的函數關係

### 離散型隨機變數（discrete random variable）
**離散型隨機變數** 表示隨機變數的取值是有限的，可以一一列出來的。有些情況下必須額外定義出資料類別與實數值之間的函數關係。例如 **成績平均績點（grade point average, GPA）** 就是一種將等第換算成數值的 **離散型隨機變數**，以下用筆者的學校 *國立臺灣大學（National Taiwan University, NTU）* 所適用的換算標準為例：$X(A+)=4.3$、$X(B)=3.0$、$X(C-)=1.7$、...

| 等第 | GPA | 百分成績換算 |
|:----:|:---:|:------------:|
| A+ | 4.3 | 95 |
| A | 4.0 | 87 |
| A- | 3.7 | 82 |
| B+ | 3.3 | 78 |
| B | 3.0 | 75 |
| B- | 2.7 | 70 |
| C+ | 2.3 | 68 |
| C | 2.0 | 65 |
| C- | 1.7 | 60 |
| F | 0.0 | 50 |
| X | 0.0 | 0 |

如果將離散型隨機變數的每種結果與之所對應的機率寫成 **機率分配表**（類似於次數分配表），則此對應關係稱為 **機率質量函數（probability mass function, pmf）**。以一個擲一次公正骰子為例，其 **機率分配表** 可以寫成以下形式：

| random variable | probability |
|:---------------:| ---------------------------- |
| 1 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |
| 2 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |
| 3 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |
| 4 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |
| 5 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |
| 6 | $\frac {1}{6} \approx 0.167$ |

那麼此隨機變數的 **機率質量函數** 就可以表達為以下形式： ${\displaystyle P(X=x)={\frac{1}{6},\ \ x=1, 2, 3, 4, 5, 6}}$

另外，與 **離散型隨機變數** 有關的數學計算基礎就是一般的四則運算，以及求和符號 ${\textstyle \sum }$。

### 連續型隨機變數（continuous random variable）
**連續型隨機變數** 表示隨機變數的取值是無限的，無法一一列出來。相對應地，連續型隨機變數擁有 **機率密度函數（probability density function, pdf）**。此函數對應到的數值代表的並不是 **機率** 而是 **機率密度**。也就是說，連續型連續變數的測度是具有不確定性的，必須給予一定的範圍，才能夠計算出連續型連續變數在這個數值範圍中出現的機率。用一張圖表達如下：

因此，與連續型隨機變數相關的數學計算基礎除了四則運算之外，就是應用在連續函數上的求和概念 **積分（integral）**。

所以也有人說，**微積分（calculus）** 是 **機率論** 的先備知識，而 **機率論** 又是 **現代統計學** 的理論基礎，所以要把 **統計學** 學好，必須要有一定的 **微積分** 基礎。

> 呃...筆者感受到讀者緊張的情緒了，在此要先讓讀者鬆一口氣。只需要掌握微積分的基本概念，配合上筆者的敘述，以及一點點的數學式子，相信可以讀得懂統計學，並且掌握統計學的要領。不需要微積分專精，只需要大概知道概念，會一點點計算即可。
>
> 為了讓讀者不要太過於絕望，接下來進入到期望的部分（？？）

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### 期望值（Expected value）
**期望值** 表示在進行長期試驗之後的平均結果，可以想像成是 **研究者預期多次重覆試驗之後的所有結果之平均值**。實際上的計算結果便是以每種不同結果的 **機率值** 作為 **權重** 所計算而得到的 **加權平均數**。

對於離散型隨機變數，期望值表示為 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}．P(x_{i})}$，其中 $x_i$ 表示每一種可能結果所對應的實數值，而 $P(x_{i})$ 則代表這種結果對應的機率。來看一個超市抽獎的例子，假設袋子中共有 1 顆紅球、5 顆黃球與 24 顆白球，超市的抽獎規則為抽出紅球可以獲得 1000 元，抽出黃球可以獲得 100 元，而抽出白球則沒有獎金。那麼可以根據此規則整理成以下表格：

| 抽球結果 | 對應獎金 $x_i$ | 機率 $P(x_{i})$ |
| -------- |:--------------:|:---------------:|
| 紅球 | 1000 | 1/30 |
| 黃球 | 100 | 5/30 |
| 白球 | 0 | 24/30 |

則可以計算此抽獎的期望值為 50 元，詳細的算式如下：

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{3} x_{i}．P(x_{i})=1000．\frac{1}{30}+100．\frac{5}{30}+0．\frac{24}{30}=50}$

對於連續型隨機變數，期望值表示為 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }x．p(x)\,\mathrm {d} x}$，其中 $x$ 表示隨機變數對應的數值，而 $p(x)$ 則表示該數值對應的 **機率密度**，經由積分計算之後可以得到期望值。往後的計算中還會碰到許多連續型隨機變數，在此就不特別舉例。

期望值因為包含了機率的概念，所以可以非常好地作為試驗結果的預測，在許多領域中都會用到期望值。例如金融投資中，投資組合的期望收益是基於各種可能結果的加權平均，因此期望值可以用來預測未來收益。而在保險業中，期望值可以將風險納入考量，如保費是根據未來可能賠付額的期望來決定的。

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### 大數法則（law of large numbers, LLN）
大數法則用來描述多次數重複試驗的結果。根據 **大數法則**，試驗次數越多，樣本數量越多，則所有結果的算術平均值就有越高的機率接近期望值。它「說明」了一些隨機事件之均值的長期穩定性，甚至有人說 **大數法則就是偶然中藏有著必然**。

###### 歷史
大數法則最早是由義大利數學家 *吉羅拉莫·卡丹諾* 未經證明地指出，**統計結果的準確性會隨著試驗次數的增加而逐漸改善**。西元 1713 年，*雅各布·伯努利* 提出了 **黃金定理**，用以解釋在二元變數經過多次伯努利試驗（只有成功跟失敗兩種結果的試驗），成功的出現次數比例會接近於成功的機率（這也是高中機率所學的 **大數法則**）。1837年，*卜瓦松* 則將此定理取名為 **大數法則**。*辛欽* 在 1929 年證明，對於獨立且同分佈的隨機變數，只要期望值存在，都會使 **弱大數法則**： ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty }$ 成立。也就是對於任意正數 ${\displaystyle \varepsilon >0}$，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1}$ 成立。*科摩哥洛夫* 則給出了 **強大數法則** ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\xrightarrow {\text{a.s.}}}\ \mu \quad {\textrm {as}}\quad n\to \infty }$ ，也就是 ${\displaystyle P\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1}$ 的相關證明。

###### 應用
擲一次公正骰子所得到的數值，其期望值應該等於 3.5。如果我們重複丟擲一顆公正骰子，並把每次丟擲的結果紀錄下來，並且把這些紀錄去平均，然後一直重複做這件事 1000 次，其結果如下圖所示，**丟擲結果的平均值會接近期望值**，這就是 **大數法則**。統計學的計算中，一般都設定至少要做 30 次重複試驗才能應用大數法則，而應用在計算機科學之中，一般至少要有 1000 次重複試驗才能應用。

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### 變異數（variance）
**變異數** 又稱為 **變方** 或 **方差**，常用符號包跨 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$、${\displaystyle s^{2}}$、${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ 等。在機率論或統計學中，**變異數** 是用來描述隨機變數之分散程度的量數，它是 **隨機變數之離均差平方的期望值**，數學式為 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}}$。

對於離散型隨機變數，變異數的計算為 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\cdot p(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}[x_{i}^{2}\cdot p(x_{i})]-\mu ^{2}}$

而對於連續型隨機變數，變異數的計算為 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}p(x)\,dx\\[4pt]=\int _{\mathbb {R} }x^{2}p(x)\,dx-\mu ^{2},}$

事實上，變異數其實是統計分析中非常重要的一大量數，它還有許多延伸定義，等未來收穫更多觀念之後，筆者會再一一探討這些延伸概念的變異數。

# 機率分布的特徵
在敘述統計學中，我們利用 **平均數（mean）** 來摘要統計結果的 **中央趨勢**，然而對於一個隨機變數，其對應的數值會服從特定的 **機率分布（probability distribution）**。也就是說，透過足夠多次的重複試驗，將每次試驗的結果記錄下來，並利用 **機率質量函數** 或 **機率密度函數** 表示時，其所代表的就是隨機變數的 **機率分布**。

所以接下來，我們將透過引入 **動差** 的概念，來總結機率分布的特徵。

### 動差（moment）
西元 1894 年，*卡爾·皮爾森* 提出 **動差估計法（method of moments）**，將 **動差** 的概念引入到統計學中。此名稱來源與物理學中的 **矩（moment）**，主要是用來摘要圖形或立體的空間分布特徵。在統計學中，動差可以用來定義與計算機率分布的 **中心位置**、**分散程度**、**中心偏移程度** 與 **分布峰值的寬窄**。

首先，取得一個隨機變數的 **機率質量函數** $P(X)$ 或 **機率密度函數** $p(X)$ 後，接著就可以定義此隨機變數對於任意實數 $c$ 的 $n$ 階動差的數學表達式為
${\displaystyle \mu '_{n}(c)=E[\left (X-c)^{n}\right] ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int _{-\infty }^{\infty } (x-c)^{n}p(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$

其中，若任意實數 $c=0$ 時，稱為 **原動差（raw moment）**；若任意實數 $c=\mu$，則我們稱為 **主動差 / 中央動差（central moment）**。另外再定義 **標準動差（standardized moments）** 表示為 $n$ 階主動差除以標準差的 $n$ 次方，當然也可以利用 **將隨機變數標準化** 的方式來定義 **標準動差**，數學表達式如下所示：

${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!n}\,{\Big ]}}}$

### 分布的中心位置與分散度
與第二回所學的內容相同，對於一筆統計數據而言，其分布的中心位置可以利用 **算術平均數 $\mu$** 進行估計，而隨機變數的算術平均數就是 **期望值 $E(X)$**。引進動差的概念之後會發現，其實 **期望值就是一階（$n=1$）原動差（$c=0$）**。

而前面提到，**變異數** 可以用來作為隨機變數之機率分布的分散度量數，在此引入動差的概念後也不難發現，**變異數就是二階（$n=2$）主動差（$c=\mu$）**。而 **變異數 $\sigma^2$** 就是 **標準差 $\sigma$** 的平方。

### 分布的偏態（skewness）
**偏態（skewness）** 也被稱為 **偏態係數**、**偏度係數**、**偏度**、**歪度**，用來描述一個分布的不對稱性，利用正負號來表示中心偏移的方向，而數值大小則表示偏移的程度。機率分布的偏態定義為隨機變數的 **三階（$n=3$）標準動差（$c=\mu$ 且須除以 $\sigma^3$）**。

利用 **將隨機變數標準化** 的方式來定義 **標準動差** 的話，可以拆開定義式成以下形式：

${\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

分布的偏態主要有兩種： **注意！偏態係數為零不代表對稱分布**
* **負偏態（negatively skewed）**/ **左偏態（left tailed）**
左側的尾部更長，分布的主體集中在右側（中位數不一定在平均數的右邊）。
* **正偏態（positively skewed）**/ **右偏態（right tailed）**
右側的尾部更長，分布的主體集中在左側（中位數不一定在平均數的左邊）。


### 分布的峰態（kurtosis）
**峰態（skewness）** 也被稱為 **峰態係數**、**峰度係數**、**峰度**、**尖度**，用來描述一個分布的集中程度與極端離群值出現情況的量數。為了與 **偏態** 相對，透過正負號來定義峰度，因此 **超值峰度（excess kurtosis）** 的定義被提出來，它定義為 **峰度減 3**：

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

> 根據筆者的觀察，部分比較老舊的教科書還是遵循著原本峰度的定義，但有些新的教科書與統計軟體的工具書都參照了超值峰度的定義，許多統計軟體如 R、SAS、SPSS、Excel、Googlesheets 或 Python 中的套件 scipy，也都是使用超值峰度的定義，然而 Stata 卻是利用原本峰度的定義。

分布的峰態同樣可以分成兩大類：
* 超值峰度為正，稱為 **高狹峰（leptokurtic）**，表示資料大多集中在中間，使分布具有又高又狹窄的峰。
* 超值峰度為負，稱為 **低闊峰（platykurtic）**，表示資料平均分散在中間附近，使分布具有較低也較開闊的峰。

### 變異係數（coefficient of variation, CV, $c_{v}$）
最後再介紹一種用來描述機率分布分散程度的量數。**變異係數** 又稱為 **變差係數**、**離差係數**、**離散係數**、**標準離差率** 或 **單位風險**。
1. 如果想要比較兩筆資料的分散情況時，無法利用 **標準差** 來比較不同單位的資料，因為單位換算過程中會縮放資料大小，就會使 **標準差** 跟著一起被縮放。
2. 再者，若一筆資料數值都很大，例如隨便都是數十萬的，那麼數百單位的差距就會顯得很微不足道；另外一筆資料數值都很小，幾乎都只不超過 10 時，那麼第一筆資料的標準差就會明顯比第二筆更大，使得 **用標準差估計兩筆資料的分散度造成分析失準**。

為了解決以上兩個問題，變異係數定義為 **標準差除掉平均數**。

數學表達式為 ${\displaystyle c_{v}={\sigma \over \mu }}$

從數學表達式可以發現，**變異係數** 在使用有 2 點限制：
1. 只有 **平均數 $\mu$ 不為零** 時才可以使用。
2. 只對 **比例尺度** 的資料才有意義。

變異係數雖然能夠更有意義地描述資料的分散程度，但其使用上有較大的限制，而且當平均數越接近0時，誤差就會被放大得越多倍，更何況變異係數無法發展出如 **信賴區間** 等的估計工具，因此在統計學中也漸漸沒落，不被大家所使用了。

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最後，這一回介紹的內容滿多的，讓我們用一個簡單的例子來總結上述的內容吧！

試想一顆骰子，這顆是筆者用自己那笨拙的雙手親自雕刻出來的骰子，所以它當然不是一顆公正骰子。還好筆者有幾個具有實驗精神，同時也比較閒的朋友可以陪筆者完成擲這顆骰子 10000 次的實驗。

抱歉，擲到 950 次的時候已經累了，擲 10000 次就好。反正次數夠多了，可以用 **大數法則** 來推測這時候的 **相對次數** 應該已經足以接近實際上的機率分布了。

這顆骰子被筆者取名為愛情骰子，描述了感情世界的其中六種結局。現在，我們要設計一個函數對應關係，也就是這個例子的隨機變數。筆者定義 $X(結婚)=1$、$X(變成閨密)=2$、$X(當朋友)=3$、$X(直接變陌生人)=4$、$X(出軌被綠)=5$、$X(大吵然後分手)=6$，並可以依照實驗結果寫下此隨機變數的 **機率質量函數** 如下表所示：

| 感情結局 | 賦值 | 實驗出現次數 | 機率 |
|:--------:|:----:|:------------:|:-----:|
| 結婚 | 1 | 3 | 0.003 |
| 閨密 | 2 | 121 | 0.121 |
| 朋友 | 3 | 142 | 0.142 |
| 陌生人 | 4 | 218 | 0.218 |
| 出軌 | 5 | 362 | 0.362 |
| 吵架分手 | 6 | 154 | 0.154 |

首先來計算這 1000 次實驗結果的 **算術平均值 $\mu$**，也就是這個隨機變數的 **期望值 $E(X)$**。

$E(X)=1．0.003+2．0.121+3．0.142+4．0.218+5．0.362+6．0.154=4.277$

接下來是要計算 **變異數 $Var(X)$**，可以透過下列這個表格來完成

| $x_i$ | $x_i-\mu$ | $(x_i-\mu)^2$ | $P(x_i)$ | $(x_i-\mu)^2\cdot P(x_i)$ |
|:-----:|:---------:|:-------------:|:--------:|:-------------------------:|
| 1 | -3.277 | 10.738729 | 0.003 | 0.032216187 |
| 2 | -2.277 | 5.184729 | 0.121 | 0.627352209 |
| 3 | -1.177 | 1.630729 | 0.142 | 0.231563518 |
| 4 | -0.277 | 0.076729 | 0.218 | 0.016726922 |
| 5 | 0.723 | 0.522729 | 0.362 | 0.189227898 |
| 6 | 1.723 | 2.968729 | 0.154 | 0.457184266 |

把最後一行 $(x_i-\mu)^2\cdot P(x_i)$ 的結果加總起來就是 **變異數** 了，其平方根就是 **標準差**。

$Var(X)=1.554271\approx {1.55}$、$\sigma =\sqrt {Var(X)} \approx {1.246704054698}\approx {1.25}$

> 有效位數為 3 位

接下來便是計算此分布的 **偏度** 為 ${\displaystyle \frac {\sum_{i} (x_i-\mu)^3\cdot P(x_i)}{\sigma ^{3}}\approx -0.47}$。

| $x_i$ | $x_i-\mu$ | $(x_i-\mu)^3$ | $P(x_i)$ | $(x_i-\mu)^3\cdot P(x_i)$ |
|:-----:|:---------:|:-------------:|:--------:|:-------------------------:|
| 1 | -3.277 | -35.190814933 | 0.003 | -0.105572444799 |
| 2 | -2.277 | -11.805627933 | 0.121 | -1.428480979893 |
| 3 | -1.177 | -2.082440933 | 0.142 | -0.295706612486 |
| 4 | -0.277 | -0.021253933 | 0.218 | -0.004633357394 |
| 5 | 0.723 | 0.377933067 | 0.362 | 0.136811770254 |
| 6 | 1.723 | 5.115120067 | 0.154 | 0.787728490318 |

接下來便是計算此分布的 **超值峰度** 為 ${\displaystyle \frac {\sum_{i} (x_i-\mu)^4\cdot P(x_i)}{\sigma ^{4}}-3\approx -0.75}$。

| $x_i$ | $x_i-\mu$ | $(x_i-\mu)^4$ | $P(x_i)$ | $(x_i-\mu)^4\cdot P(x_i)$ |
|:-----:|:---------:|:-------------:|:--------:|:-------------------------:|
| 1 | -3.277 | 115.320300535441 | 0.003 | 0.345960901606323 |
| 2 | -2.277 | 26.881414803441 | 0.121 | 3.252651191216361 |
| 3 | -1.177 | 2.659277071441 | 0.142 | 0.377617344144622 |
| 4 | -0.277 | 0.005887339441 | 0.218 | 0.001283439998138 |
| 5 | 0.723 | 0.273245607441 | 0.362 | 0.098914909893642 |
| 6 | 1.723 | 8.813351875441 | 0.154 | 1.357256188817914 |

另外，將數值從小排到大，第 500 與 第 501 個數值都是 5，因此這 10000 次試驗的 **中位數** 為 $\frac {5+5}{2}=5$。**眾數** 則是最多出現次數的 5，將以上結果總結如下圖：

| 分布特徵 | 數值 |
|:--------------:|:-----:|
| 眾數 | 5 |
| 中位數 | 5 |
| 平均數、期望值 | 4.277 |
| 變異數 | 1.55 |
| 標準差 | 1.25 |
| 偏度係數 | -0.47 |
| 超值峰度 | -0.75 |

可以發現，此分布顯然是左邊尾巴比較長的 **左偏態（負偏態）**，平均數恰好也是眾數、中位數、平均數這三個測度中心位置的均量中，最左邊的數值；而從超值峰度為負值，可以知道其峰度小於 3，屬於 **低闊峰**。圖中，藍色線就是依照此分布的平均數 4.277 與標準差 1.25 所給定，偏度為 0，超值峰度為 0，大名鼎鼎的 **常態分布**！

下一回，將介紹各種常見與不常見的機率分布，順便帶領讀者來會一會這一個 **常態分布**。

###### 下一回：[統計學（四）參數化機率分布]()