# Ôn Giải tích
## Đề 1
### Bài 1

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}-1 \le y \le 2\\{y^2} \le x \le y + 2\end{array} \right.$

Đồ thị biểu diễn:

Chia làm 3 miền:
$$
\begin{array}{l}
{D_1}:\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x - 2 \le y \le - \sqrt x \\
-\sqrt x \le y \le \sqrt x
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
{D_2}:\left\{ \begin{array}{l}
1 \le x \le 4\\
\left[ \begin{array}{l}
x - 2 \le y \le \sqrt x \\
-\sqrt x \le y \le x - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
{D_3}:\left\{ \begin{array}{l}
4 \le x \le 9\\
-2 \le y \le \sqrt x
\end{array} \right.
\end{array}
$$

$$
I = \int_0^1 {dx\left[ {\int_{x - 2}^{ - \sqrt x } {f\left( {x,y} \right)dy} + \int_{ - \sqrt x }^{\sqrt x } {f\left( {x,y} \right)dy} } \right]}\\
+\int_1^4 {dx\left[ {\int_{ - \sqrt x }^{x - 2} {f\left( {x,y} \right)dy} + \int_{x - 2}^{\sqrt x } {f\left( {x,y} \right)dy} } \right]}\\
+\int_4^9 {dx\int_{ - 2}^{\sqrt x } {f\left( {x,y} \right)dy} }
$$

### Bài 2

Mặt trước: $y = 4$
Mặt sau: $y = -4$
Hình chiếu xuống $Oxz$: $x^2 + z^2 \le 4$

$\left\{ \begin{array}{l}x = r\sin \varphi \\z = r\cos \varphi \end{array} \right.$

$\Rightarrow D:\left\{ \begin{array}{l}0 \le \varphi \le 2\pi \\0 \le r \le 2\end{array} \right.$

<div style="page-break-after: always; break-after: page;"></div>

### Bài 3

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = r\cos t\\y = r\sin t\end{array} \right.$

$x^2 + y^2 = 2x \Rightarrow r = 2\cos t$

Phương trình tham số của đường tròn $(C)$:
$\left\{ \begin{array}{c}x = 2\cos t\cos t = 1 + \cos 2t\\y = 2\cos t\sin t = \sin 2t\end{array} \right.;0 \le t \le 2\pi$

$$
I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\left( {1 + \cos 2t} \right)}^2} + {{\left( {\sin 2t} \right)}^2}} \sqrt {{{\left( { - 2\sin 2t} \right)}^2} + {{\left( {2\cos 2t} \right)}^2}} dt} = 16
$$

### Bài 4

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}x = x\\y = {x^2}\end{array} \right.$

$$
\displaystyle
I = \int\limits_L {\left( {2x + y + 2} \right)dx + \left( {x + {y^2}} \right)dy}\\
= \int_0^2 {\left( {2x + {x^2} + 2} \right)dx + \int_0^2 {\left( {x + {x^4}} \right)2xdx} } = \frac{{286}}{{15}}
$$

### Bài 5
#### b)

$$
y'' + y' - 12y = x{e^{3x}}\left( * \right)
$$

Nghiệm thuần nhất $\bar{y} = y'' + y' - 12y = 0$
Phương trình đặc trưng: ${K^2} + K - 12 = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{K_1} = 3\\{K_2} = 4\end{array} \right.$
$\Rightarrow \bar{y} = {C_1}{e^{3x}} + {C_2}{e^{ - 4x}}$
Nghiệm riêng $y^{*}$: $y^{*} = xe^{3x}(Ax + B)$

${y^*}' = {e^{3x}}\left( {3A{x^2} + 3Bx + 2Ax + B} \right)$
${y^*}'' = {e^{3x}}\left( {9A{x^2} + 9Bx + 12Ax + 6B + 2A} \right)$

Thế vào $(*) \Leftrightarrow$

$$
\left( {9A{x^2} + 9Bx + 12Ax + 6B + 2A} \right)\\ + \left( {3A{x^2} + 3Bx + 2Ax + B} \right) \\- 12x(Ax + B) = x
$$

$$
14Ax + 2A + 7B = x \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14A = 1\\
2A + 7B = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{{14}}\\
B = \frac{1}{{ - 49}}
\end{array} \right.
$$

$$
\Rightarrow {y^*} = x{e^{3x}}\left( {\frac{1}{{14}}x - \frac{1}{{49}}} \right)
$$

Vậy nghiệm toàn phần $(*): y = \bar{y} + {y^*} = {C_1}{e^{3x}} + {C_2}{e^{ - 4x}} + x{e^{3x}}\left( {\frac{1}{{14}}x - \frac{1}{{49}}} \right)$

## Đề 2
### Bài 1

### Bài 2

### Bài 3

$\int\limits_C {} = \int\limits_{AB} {} + \int\limits_{BC} {}$

Phương trình tham số $AB$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4t - 4\\y = 4t\end{array} \right.; - 4 \le t \le 0$

$\Rightarrow {I_1} = \int_{ - 4}^0 {\left( {8t - 4} \right)\sqrt {{4^2} + {4^2}} dt} = -320\sqrt 2$

Phương trình tham số $BC$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 8t\\y = - 4t + 4\end{array} \right.; 0 \le t \le 8$

$\Rightarrow {I_2} = \int_0^8 {\left( {4t + 4} \right)\sqrt {{8^2} + {4^2}} dt} = 640\sqrt 5$

$I = I_1 + I_2 = -320\sqrt 2 + 640\sqrt 5$

### Bài 4

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}x = r\cos t\\y = r\sin t\end{array} \right.$

${x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow r = 2$

Phương trình tham số của nửa đường tròn $(C)$:
$\left\{ \begin{array}{l}x = 2\cos t\\y = 2\sin t\end{array} \right.; - \pi \le t \le 0$

$I = \int_{ - \pi }^0 { - 4\cos t\sin tdt} + \int_{ - \pi }^0 {4\sin t\cos tdt} = 0$

### Bài 5
#### b)
Nghiệm thuần nhất: $\bar{y} = y'' - 3y' + 2y = 0$
PTDT: ${K^2} - 3K + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{K_1} = 1\\{K_2} = 2\end{array} \right.$
$\Rightarrow \bar y = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{2x}}$

Nghiệm riêng $y^{*} = xe^{x}(Ax+B)$
${y^*}' = {e^x}\left( {A{x^2} + Bx + 2Ax + B} \right)$
${y^*}'' = {e^x}\left( {A{x^2} + Bx + 4Ax + 2B + 2A} \right)$

Thế vào $(*) \Leftrightarrow$

$$
\begin{array}{l}
\left( {A{x^2} + Bx + 4Ax + 2B + 2A} \right)\\
-3\left( {A{x^2} + Bx + 2Ax + B} \right)\\
+2x\left( {Ax + B} \right) \\= \left( {2x + 3} \right)
\end{array}
$$

$$
-2Ax + 2A - B = 2x + 3\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 1\\B = - 5\end{array} \right.
$$

$\Rightarrow {y^*} = xe^{3x}(-x-5)$

Vậy nghiệm tổng quát là $y = \bar y + y^* = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{2x}} + xe^{3x}(-x-5)$

## Đề 4
### Câu 1

$$
\begin{align*}
{D_1}:&\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 1\\
\sqrt {\frac{x}{3}} \le y \le \sqrt x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
0 \le y \le 1\\
3{y^2} \ge x \ge {y^2}
\end{array} \right.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
{D_2}:&\left\{ \begin{array}{l}
1 \le x \le \frac{4}{3}\\
\sqrt {\frac{x}{3}} \le y \le 2 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow &\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\frac{1}{3}} \le y \le \frac{2}{3}\\
1 \le x \le 3{y^2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{3} \le y \le 1\\
1 \le x \le 2 - y
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{align*}
$$