Numpy

tags: Python Numpy

2022/03/17 by JohnAxer

基本觀念

• Numpy 是一個多維陣列的運算套件，可以用來進行矩陣相關運算。
• 在數學中的「矩陣」(Matrix)，如果要丟到程式當中運算，我們通常會利用「陣列」(array) 來儲存。Numpy 提供一個可以高效的陣列和許多陣列計算函式，非常適合用來儲存科學或工程計算所需的資料，並作相關的計算。但是請注意：陣列並不等於矩陣，所以有些計算方式是數學上的矩陣所沒有的。
• 在 Numpy 中，陣列透過 ndarray 物件來實現。

認識陣列(矩陣)

• 假設陣列 A 如下：

  $$A=\left[\begin{array}{cc}11& 12\\ 21& 22\\ 31& 32\end{array}\right]$$

• 陣列 A 為「3列(row) 2行(column)」，其中列為橫的，行為直的。

  • 在 numpy 中，利用元組(tuple) 紀錄陣列的形狀(shape)，A 為 (3, 2) 的矩陣。

  • 陣列大小(size) 其實就是陣列中的元素個數，所以，陣列 A 的大小為 6。

  • 陣列 A 是一個 2維矩陣，所以，陣列 A 的維度(ndim) 為 2。

  • 可以利用 A[2, 1] 或 A[2][1] 存取到最右下角的元素，其值為「32」。注意：如同串列(list)一樣，列索引值和行索引值都是從 0 開始。

  • 一個 n 維陣列，會有 n 個軸(axis)。以陣列 A 為例，陣列 A 有兩個軸，那誰是axis 0呢？很簡單，看下圖就明白了。
    

  • 程式碼

  ​​​​import numpy as np
  ​​​​a = np.array([[11, 12], [21, 22], [31, 32]])
  ​​​​print(type(a))   #顯示變數a的資料型態，結果為 ndarray
  ​​​​print(a.shape)   #(3, 2)
  ​​​​print(a.size)    #6
  ​​​​print(a.ndim)    #2
  ​​​​print(a[2, 1])   #32
  

陣列建立

• 透過 List 轉換

  • 一維陣列

    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​a1 = np.array([10, 20, 30, 40]) 
    

    這個會得到一個 1 維陣列如下：

    $$a1=\left[\begin{array}{cccc}10& 20& 30& 40\end{array}\right]$$

  • 二維陣列

    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​a2 = np.array([[11, 12, 13], [21, 22, 23]])  
    

    這個程式得到一個 2 維陣列如下：

    $$a2=\left[\begin{array}{ccc}11& 12& 13\\ 21& 22& 23\end{array}\right]$$

  • 陣列形狀轉換
    有時候，我們可以先輸入一個串列後，再改變形狀，例如：

    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​a3 = np.array([11, 12, 21, 22, 31, 32])
    ​​​​​​a3 = a3.reshape(3, 2)
    

    執行後，會得到一個 3*2 的陣列如下：

    $$a3=\left[\begin{array}{cc}11& 12\\ 21& 22\\ 31& 32\end{array}\right]$$

    那麼下面這個程式，產生的陣列應該為何?

    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​a3 = np.array([11, 12, 21, 22, 31, 32])
    ​​​​​​a3 = a3.reshape(2, 3)
    

• 利用 arange 函數產生

  • arange 函數的用法基本上和 range 一樣，唯一的差別是 arange 可以產生浮點數的數列。
    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​a4 = np.arange(1, 5, 0.5)
    ​​​​​​print(a4)
    

    結果如下：(注意： 1. 表示為 1 的浮點數)
    
    $$a4=\left[\begin{array}{cccccccc}1.& 1.5& 2.& 2.5& 3.& 3.5& 4.& 4.5\end{array}\right]$$

• 利用 linspace 函數產生

  • linspace 函數可以將指定區間平均分為 n-1 等分。其形式如下：
    linspace(start, end, n)

  • 注意到 linspace 函數預設是有包括 start 和 end 兩點。

  • 考慮以下程式，其執行結果為何?

    ​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​s1 = np.linspace(0, 5, 5)
    ​​​​​​s2 = np.linspace(0, 5, 6)
    

    $$s1=\left[\begin{array}{ccccc}0.& 1.25& 2.5& 3.75& 5.\end{array}\right]$$
    $$s2=\left[\begin{array}{cccccc}0.& 1.& 2.& 3.& 4.& 5.\end{array}\right]$$

• 利用隨機亂數產生

  • 除了 python 內建的 random 模組可以產生隨機亂數外，Numpy 也提供更強大的 random 模組，包括有：
    • numpy.random.rand(): 產生 [0~1) 之間的隨機亂數（浮點數）
    • numpy.random.normal(): 產生常態分配的隨機亂數（浮點數）

• 特殊的陣列

  • 元素都是 0 的陣列

    ​​​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​​​a5 = np.zeros(5)
    ​​​​​​​​a6 = np.zeros((2,3))
    ​​​​​​​​a7 = np.zeros((2,3), dtype=int)
    

    其中 a5、a6 陣列內的元素值均為 0 且為浮點數；a7 陣列內的元素值為整數 0。結果如下：

    $$a5=\left[\begin{array}{ccccc}0.& 0.& 0.& 0.& 0.\end{array}\right]$$
    $$a6=\left[\begin{array}{ccc}0.& 0.& 0.\\ 0.& 0.& 0.\end{array}\right]$$
    $$a7=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

  • 元素都是 1 的陣列

    ​​​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​​​a8 = np.ones(5)
    ​​​​​​​​a9 = np.ones((2,3))
    ​​​​​​​​a10 = np.ones((2,3), dtype=int)
    

    其中 a8、a9 陣列內的元素值均為 1 且為浮點數；a10 陣列內的元素值為整數 1。結果如下：

    $$a8=\left[\begin{array}{ccccc}1.& 1.& 1.& 1.& 1.\end{array}\right]$$
    $$a9=\left[\begin{array}{ccc}1.& 1.& 1.\\ 1.& 1.& 1.\end{array}\right]$$
    $$a10=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$

  • 單位元素陣列

    ​​​​​​​​import numpy as np
    ​​​​​​​​e1 = np.eye(3)
    ​​​​​​​​e2 = np.eye(2,3)
    ​​​​​​​​e3 = np.eye(3, dtype=int)
    

陣列的運算

• 假設有兩個陣列
  

  $$a=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]b=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\\ 3& 1\end{array}\right]$$

• 純量與陣列運算

  • 純量會進行廣播(boardcast)運算。
  • 例如：c = 5 + a，則
    
    $$c=\left[\begin{array}{cc}6& 7\\ 8& 9\\ 10& 11\end{array}\right]$$
  • python 的運算子(符號)均可以用，包括：+、-、*、/、//、%、**
  ​​​​import numpy as np
  ​​​​a = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
  ​​​​a = a.reshape(3, 2)
  ​​​​c = 5 + a
  ​​​​print(c)
  

• 陣列與陣列運算

  • 陣列間運算的條件：
    • 兩個陣列的形狀(shape)相同。
    • 兩個陣列形狀(shape)不相同，但是其中一個陣列可以廣播成另一個形狀。
  • python 的運算子(符號)均可以用，包括：+、-、*、/、//、%、**
  • 例如： d = a + b
    
    $$d=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\\ 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 5& 6\\ 8& 7\end{array}\right]$$
  ​​​​import numpy as np
  ​​​​a = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
  ​​​​b = np.array([1, 3, 2, 2, 3, 1])
  ​​​​a = a.reshape(3, 2)
  ​​​​b = e.resahpe(3, 2)
  ​​​​d = a + b
  ​​​​print(d)
  

  • 數學矩陣運算
    • 設有一個矩陣 e 如下
      
      $$e=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$$
    • 矩陣 a 與 e 做矩陣乘法，可用運算符號「@」，則 f = a @ e 結果如下：
      
      $$f=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ 11& 10\\ 17& 16\end{array}\right]$$
  ​​​​import numpy as np
  ​​​​a = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
  ​​​​e = np.array([1, 2, 2, 1])
  ​​​​a = a.reshape(3, 2)
  ​​​​e = e.resahpe(2, 2)
  ​​​​f = a @ e
  ​​​​print(f)