# Interacción de la radiación con la materia (Parte I)

**Bibliografía**: Ferrer Soria, Knoll, Leo, Ahmed

Se van a clasificar de acuerdo al tipo de partícula:

| | Pesadas | Livianas|
| -------- | -------- | -------- |
| Con carga | p, $\alpha$ | $\beta^-$ y $\beta^+$ |
| Sin carga | neutrones | fotones |

Las partículas cargadas darán lugar a dos fenómenos:

- Pérdida de energía por ionización. Choques inelásticos con electrones.
- Cambio de dirección (Rutherford). Choque elástico con núcleos.

## I) Partículas cargadas y pesadas

Principalmente la interacción es con los electrones orbitales del medio.


Para describir estos fenómenos se trabajara con una magnitud denominada poder de frenado:

\begin{equation}
-\frac{dE}{dx} = S = S_{elec} + S_{nucleo} \approx S_{elec}
\end{equation}

La interaccióncon con los electrones va a estar dominada por las interacciones Coulombianas.

La fórmulla que describe este proceso se llama la **Fórmula de Bethe-Bloch**.

### Deducción de la fórmula de Bohr

Describe la interacción de un ión atravesando una nube homogénea de electrones. Es un cálculo basado exclusivamente en consideraciones clásicas (mecánica y electromagnetismo). Se calcula la energía que pierde el ión por unidad de recorrido, debido a choques inelásticos con los electrones del medio. El cálculo se separa en etapas:

1. Interacción entre el ión y un electrón
2. Interaccion entre el ión y un anillo de electrones
3. Interacción entre el ión un toda la nube de electrones

#### 1)

Realizamos las siguientes hipótesis:

- El electrón se encuentra inicialmente en reposo
- El electrón se considera en reposo durante la interacción
- El ión efectúa una trayectoria rectilínea (no se desvía)
- El ión se mueve con la misma velocidad

La fuerza Coulombiana que siene el electrón dependerá exclusivamente de la posición $x$ donde se encuentre el ión: $\vec{F}_c(x) = e \vec{E}(x)$
Por la segunda ley de Newton tenemos que:

\begin{equation}
\vec{F}_c = \frac{d\vec{p}}{dt} \implies \Delta\vec{p}=\int_{-\infty}^{+\infty} \vec{F}_c dt = e \int_{-\infty}^{+\infty} \vec{E}(x)dt
\end{equation}

Si descomponemos el campo eléctrico entre las componentes paralela y perpendicular al recorrido del ión (en coordenadas cilíndricas):

\begin{equation}
\vec{E}(x) = E_{\perp}(x) \hat{r} + E_{\parallel}(x)\hat{x}
\end{equation}

Por argumentos de simetría, vemos que la componente paralela se anula pues cambia de signo cuando el ion pasa por el electrón (pues asumimos que el e$^-$ no se mueve). Entonces el cambio de impulso sólo tendrá componente perpendicular $\Delta p$:

\begin{equation}
\Delta p = e \int_{-\infty}^{+\infty} E_{\perp}(x)dt = \frac{e}{v} \int_{-\infty}^{+\infty} E_{\perp}(x)dx
\end{equation}

donde $v$ es la velocidad (constante) del ion.

Para calcular la última integral utilizamos la Ley de Gauss:

\begin{equation}
\phi_E = \iint_{S(V)} \vec{E}\cdot d\vec{A} = 4\pi Q(V)
%\phi_E = \oiint_{S(V)} \vec{E}\cdot d\vec{A} = 4\pi Q(V)
\end{equation}

donde se define un volumen $V$ y su superficie $S(V)$. Entonces $Q(V)$ es la carga total contenida entro del volumen $V$. En nuestro caso, tomamos un volumen cilíndrico centrado en la trayectoria del ión, que contenga al electrón:

\begin{equation}
4\pi Z_1 e = \int_0^{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} E_{\perp} bd\varphi dx \implies \int_{-\infty}^{+\infty} E_\perp dx = \frac{2Z_1 e}{b}
\end{equation}

Reemplazando en la fórmula del momento se llega a:

\begin{equation}
\Delta p = \frac{2Z_1 e^2}{bv}
\end{equation}

Si lo pensamos en términos de la energía cinética que gana el electrón $\Delta E = (\Delta p)^2 / (2m_e)$:

\begin{equation}
\Delta E(b) = \frac{2Z_1^2e^4}{m_e v^2 b^2}
\end{equation}

donde se hizo explícito que esta energía ganada por un electrón ubicado a una distancia $b$ de la trayectoria del ión ($b$ es el parámetro de impacto).

#### 2)


Calculamos la energía que pierde el ion ($dE$) debido a la interacción con todos los electrones ubicados en un anillo definido por la distancia entre $b$ y $b+db$ de su trayectoria y el espesor $dx$.

\begin{equation}
-dE(b) = \Delta E(b) n_e dV
\end{equation}

donde $n_e=Z_2 \rho N_A /A$ es la densidad de electrones en el medio (se asume homogénea) y $dV=2\pi b\, db\, dx$ es el volumen del anillo. Reemplazando:

\begin{equation}
-dE(b) = \frac{2Z_1^2e^4}{m_ev^2b^2} n_e 2\pi\, b\,db\,dx
\end{equation}

que se puede reagrupar:

\begin{equation}
-\frac{dE}{dx}(b) = \frac{4\pi Z_1^2e^4}{m_e v^2} \frac{db}{b} n_e
\end{equation}

#### 3)

Sólo nos queda integrar en el parámetro de impacto. Pero no se puede hacer la integral entre $0$ y $+\infty$ pues se violarían las hipótesis que hicimos al comienzo. Se debe integrar entre un $b_{min}$ y un $b_{max}$:

\begin{equation}
-\frac{dE}{dx} = \frac{4\pi Z_1^2e^4}{m_e v^2} n_e \ln\left(\frac{b_{max}}{b_{min}}\right)
\end{equation}

Usando la fórmula a la que llegamos en el paso 1):

\begin{equation}
\Delta E_{max}(b_{min}) = \frac{2Z_1^2e^4}{m_ev^2 b_{min}^2}
\end{equation}
Para encontrar $b_{min}$ se considera que la máxima transferencia de energía se produciría en una colisión frontal. Clásicamente se puede demostrar que:

\begin{equation}
\Delta E_{max} = \frac{1}{2}m_e (2v)^2
\end{equation}

Y si se hiciera de forma relativista:

\begin{equation}
\Delta E_{max} = \frac{1}{2}m_e [2\gamma(v)v]^2 = 2 m_e \gamma(v)^2v^2
\end{equation}

de donde se obtiene:

\begin{equation}
b_{min} = \frac{Z_1e^2}{\gamma(v)m_ev^2}
\end{equation}

Para calcular el $b_{max}$ (mínima transferencia de energía) debemos considerar que el electrón en verdad está ligado (forma parte de un átomo del medio). La interacción entre el ión y el electrón debe ser lo suficientemente rápita como para que le transfiera impulso (es decir, no debe ser adiabática). Si la frecuencia característica del electrón es $\bar{\nu}$ su tiempo característico será $1/\bar{\nu}$. El tiempo característico de la interacción será $b/v$ que con la corrección relativista queda $b/(\gamma v)$. Siempre se debe cumplir, entonces:

\begin{equation}
\frac{b}{\gamma(v) v} \leq \frac{1}{\bar{\nu}}
\end{equation}

y en la igualdad queda definido el $b_{max}$ :

\begin{equation}
b_{max} = \frac{\gamma(v) v}{\bar{\nu}}
\end{equation}

Reemplazando llegamos al resultado buscado:

\begin{equation}
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{Bohr} = \frac{4\pi e^4}{m_e}\frac{Z_1^2}{v^2} n_e \ln\left(\frac{\gamma^2 m_e v^3}{Z_1e^2\bar{\nu}}\right)
\end{equation}

Notar que (salvo el argumento del logaritmo) los parámetros del medio material sólo aparecen en $n_e$. Lo podemos escribir explícitamente:

\begin{equation}
\boxed{
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{Bohr} = \frac{4\pi e^4 N_A}{m_e}\frac{Z_1^2}{v^2}\ \frac{Z_2 \rho}{A} \ln\left(\frac{\gamma^2 m_e v^3}{Z_1e^2\bar{\nu}}\right)
}
\end{equation}

Se marcó en rojo las propiedades que dependen del ion incidente y en verde las que dependen del medio (obviando al argumento del logaritmo).

**Cuidado**: Recordar que $A$ es el peso molecular del medio (no su número másico)

### Fórmula de Bethe-Bloch

Planteando de forma análoga lo que hicimos antes, pero con mecánica relativista, se llega a la fórmula del poder de frenado de Bethe-Block:

\begin{equation}
\boxed{
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{B-B} = 4\pi r_e^2 m_e c^2 N_A \frac{Z_1^2}{\beta^2} \frac{Z_2 \rho_2}{A}\left[\ln\left(\frac{2 m_e v^2}{I}\right) -\ln(1-\beta^2) - \beta^2 \right]
}
\end{equation}

donde:
* $r_e$ : es el radio del electrón
* $\rho_2$ : es la densidad másica del medio
* $A$ : peso atómico del medio
* $4\pi r_e^2 m_e c^2 N_A$ = 0.307 MeV$\cdot$cm$^2$
* $I$ : es el potencial de excitación del medio. Empíricamente se lo toma como:

\begin{equation}
I(Z_2)[eV] = \begin{cases} 12Z_2 + 7, & \text{si } Z_z<13 \\
9.76Z_2 + \frac{58.8}{Z_2^{0.19}}, & \text{si } Z_2 \geq 13
\end{cases}
\end{equation}

o también: $I(Z_2) = 16 Z_2^{0.9} \, [eV]$


#### Propiedades de la fórmula de Bethe-Bloch

1. No depende de la masa $M_2$ de la partícula incidente
2. $\sim Z_1^2$
3. Para bajas energías $\sim 1/v^2 \sim 1/E$
4. $\frac{1}{\rho}\frac{dE}{dx}$ depende poco del medio (pues $Z_2/A \sim$ cte). Esto habilita a definir $\epsilon = x \rho$ y entonces $\frac{dE}{d\epsilon}$ recibe el nombre de _poder de frenado másico_.
5. Posee un mínimo alrededor de $\frac{dE}{d\epsilon} = 2\frac{MeV\cdot cm^2}{g}$
6. La fórmula de Bethe-Bloch es válida hasta $\beta \sim 0.05$. Luego aparecen otros efectos que no se tuvieron en cuenta (por ejemplo, $Z_1$ disminuye)

## Ley de escala para el poder de frenado

### Distintas partículas en un mismo medio

Hemos visto que el poder de frenado no depende de la masa del ion incidente. Por lo tanto, si consideramos un medio en particular, el poder de frenado de una partícula $a$ será:

\begin{equation}
-\frac{dE_a}{dx}(\beta) = Z_a^2 f(\beta)
\end{equation}

Si tenemos otra partícula $b$ que incide en el mismo medio, con la misma velocidad que la partícula $a$:

\begin{equation}
-\frac{dE_b}{dx}(\beta) = Z_b^2 f(\beta)
\end{equation}

Se cumple entonces que:

\begin{equation}
-\frac{dE_b}{dx}(\beta) = - \frac{Z_b^2}{Z_a^2} \frac{dE_a}{dx}(\beta)
\end{equation}

Como la mayoría de los datos experimentales están expresados en función de las energías de las partículas y no de sus velocidades, debemos reescribir lo anterior. La energía cinética relativista es $T=(\gamma -1)Mc^2$ por lo que $\beta=g(T/M)$. Si expresamos el poder de frenado en términos de la energía cinética e las partículas y usamos que $T_a = \frac{M_a}{M_b} T_b$, entonces:

\begin{equation}
\boxed{
-\frac{dE_b}{dx}(T_b) = - \frac{Z_b^2}{Z_a^2} \frac{dE_a}{dx}\left(\frac{M_a}{M_b} T_b\right)
}
\end{equation}

Si se conoce el poder de frenado para la partícula $a$ en un dado medio, es posible determinar el poder de frenado para la partícula $b$ en el mismo medio.

#### Ley de mezclas (Ley de Bragg)

Si el medio material está compuesto por varios elementos:

\begin{equation}
\boxed{
\frac{1}{\rho} \frac{dE}{dx}\Bigr|_{medio} = \sum_i \omega_i\frac{1}{\rho_i} \frac{dE}{dx}\Big|_i
}
\end{equation}

siendo $\omega_i = a_i \frac{A_i}{A_m}$ la fracción en masa del compuesto i-ésimo.

### Curva de Bragg

La expresión del poder de frenado de Bethe-Bloch tiene una dependencia implícita en la energía del ion incidente. Si pensamos que a medida que atraviesa el medio va perdiendo energía, su poder de frenado irá aumentando. Sin embargo, llegará un punto donde la fórmula de B-B dejará de ser válida.


## Alcance de una partícula

### Leyes de escala para el alcance

#### Diferentes partículas en un mismo medio

En base a la ley de mezclas vista para el poder de frenado, es posible deducir una similar para el alcance. Si se tienen dos partículas $a$ y $b$ en un mismo medio, y se conoce el alcance de la partícula $a$, entonces se puede encontrar el alcance para la partícula $b$ de acuerdo a:

\begin{equation}
R_b(T_b) = \frac{M_b}{M_a} \frac{Z_a^2}{Z_b^2} R_a\left(T_b\frac{M_a}{M_b}\right)
\end{equation}

#### Mismas partículas en distintos medios

Para una partícula a una dada energía, los alcances en dos medios $1$ y $2$ se expresan a través de la *Ley de Bragg-Kleeman*:

\begin{equation}
\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}
\end{equation}

En caso de tener un medio compuesto, el número másico efectivo $A_{eff}$ se obtiene como:

\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{A_{eff}}} = \sum_i \frac{\omega_i}{\sqrt{A_i}}
\end{equation}

siendo $\omega_i$ la fracción en masa del compuesto i-ésimo cuya masa atómica es $A_i$.x

## II) Interacción de partículas livianas y cargadas

Pensando principalmente en electrones y positrones, los mecanismos de pérdida de energía de estas partículas en la materia más importante son:

1. Colisiones inelásticas con los electrones del medio
2. Radiación de frenado (Bremsstrahlum) debido a la interacción Coulombiana con los núcleos del medio

El poder de frenado se puede expresar, entonces, como:

\begin{equation}
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{total} = -\frac{dE}{dx}\Biggr|_{col} -\frac{dE}{dx}\Biggr|_{rad}
\end{equation}

donde el primer térmico corresponde a la pérdida de energía por colisiones y el segundo a la pérdida por radiación.

La trayectoria del electrón no es récta sino que cambia abruptamente su dirección luego de cada colisión. Estas partículas son mucho más penetrantes que las partículas cargadas y pesadas.

Existen otros mecanísmos de pérdida de energía, pero son insigificantes frente a los dos analizados.


### Pérdida de energía por colisiones

Las colisiones de los electrones con otros electrones (igual masa) hace que la pérdida de energía por colisión sea mayor al caso de partículas pesadas.

Este término es simmilar al que se vió para partículas pesadas y cargadas (fórmula de Bethe-Bloch). Se deben realizar correcciones relativistas ya que al tener menos masa, estos efectos cobran mayor importancia.

La fórmula se puede escribir como:

\begin{equation}
\boxed{
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{col} = \frac{1}{2} 4\pi r_e^2 m_e c^2 N_A \frac{1}{\beta^2} \frac{Z_2 \rho_2}{A}\left[2 \ln\left(\frac{2 m_e c^2}{I}\right) + 3\ln(\gamma)-1.95\right]
}
\end{equation}

donde los símbolos son los mismos que se utilizaron en la fórmula de Bethe-Bloch para partículas pesadas. Notar que se asumió $Z_1=\pm1$$, por lo que es válida sólo para $e^-/e^+$.

### Pérdida de energía por radiación

La expresión de pérdida de energía que sufre un $e^-/e^+$ por radiación de frenado en presencia de un núcleo se expresa como:

\begin{equation}
\boxed{
-\frac{dE}{dx}\Biggr|_{rad} = \frac{e^4}{137} \frac{E}{m_e^2c^4} (Z_2+1)Z_2 \rho_2\left[4 \ln\left(\frac{2E}{ m_e c^2}\right) -\frac{4}{3}\right]
}
\end{equation}

Notar que este efecto es inversamente proporcional al cuadrado de la masa de la partícula ($m_e$ en este caso). Este es el motivo por el cual la pérdida por radiación en partículas pesadas es despreciable frente al término de pérdida por colisiones.

Analizando la dependencia con la energía, vemos que el término de colisiones domina para baja energía ($\sim 1/E$) mientras que el término radiativo domina a altas energías ($\sim E$).


### Energía crítica

La energía crítica es una magnitud que caracteriza la energía que debe tener un $e^-/e^+$ en un dado medio para que las pérdidas por energía y por radiación se igualen.

Dividiendo ambas pérdidas se puede encontrar una expresión aproximada:

\begin{equation}
\frac{dE/dx\Bigr|_{rad}}{dE/dx\Bigr|_{col}} \approx \frac{(Z_2+1.2) E}{800 MeV}
\end{equation}

La energía crítica queda definida al pedir que el cociente anterior se iguale a la unidad:

\begin{equation}
\boxed{
E_c = \frac{800MeV}{Z_2+1.2}
}
\end{equation}

---

**Ejemplo**: ¿Qué fracción de pérdida de energía por radiación frente a colisión se tendrá con un pierde un electrón de 5 MeV en aluminio y en plomo?

* En aluminio (Z=13):

\begin{equation}
\frac{dE}{dx}\Biggr|_{rad} \approx 0.09 \frac{dE}{dx}\Biggr|_{col}
\end{equation}

* En plomo (Z=82):

\begin{equation}
\frac{dE}{dx}\Biggr|_{rad} \approx 0.55 \frac{dE}{dx}\Biggr|_{col}
\end{equation}

Vemos que en aluminio aproximadamente el 10\% de la energía la pierde por radiación, mientras que en plomo es el 35%. Es decir, que se genera mucha más radiación de frenado en el plomo que en el aluminio. Esto puede ser un inconveniente si se quiere blindar una fuente gamma (que emite luego de un decaimiento $\beta^-$). El plomo, si bien va a blindar los gammas de la fuente, va a estar generando fotones por la interacción del $\beta^-$.

---

### Longitud de radiación

Despreciando la dependencia logarítmica en energía que tiene el poder de frenado debido a radiación, se puede escribir:

\begin{equation}
\frac{dE}{dx}\Biggr|_{rad} = - \frac{E}{X_0}
\end{equation}

donde $X_0$ se define como la *longitud de radiación*. Dicha ecuación se puede resolver y obtener:

\begin{equation}
E(x) = E_0 e^{-x/X_0}
\end{equation}

entonces $X_0$ se interpreta como la longitud que recorre el $e^-/e^+$ antes de perder un factor 1/e de su energía inicial sólo por radiación de frenado.

### Alcance de $e^-/e^+$

Debido a los múltiples cambios de dirección que sufre un $e^-/e^+$ a lo largo de su trayectoria, el alcance no puede ser obtenido integrando el poder de frenado.



Se lo suele obtener de forma experimental para cada tipo de material. Se analizan dos situaciones distintas:

+ $e^-/e^+$ monoenergéticos

Se define el alcance extrapolado. Notar, igualmente, que es más difusa la noción de alcance en este caso, comparado con lo que se obtiene con una partícula pesada y cargada.


Existen diversas fórmulas empíricas en función de la energía y material.

+ Partículas $\beta^-/\beta^+$

La combinación del espectro de emisión beta, junto con la forma en que se atenúan los electrones monoenergéticos, da como resultado una ley exponencial:

\begin{equation}
I = I_0 e^{-\mu_e t}
\end{equation}

siendo $t$ el espesor másico, y $\mu_e$ se denomina coeficiente de absorción de electrones en el material. Satisface la siguiente ley empírica:

\begin{equation}
\mu_e = 1.7 E_{max}^{-1.14} \quad [m^2/kg] = 17 E_{max}^{-1.14} \quad [cm^2/g]
\end{equation}

donde $E_{max}$ es la energía máxima del espectro de emisión beta (expresada en MeV).

### Aniquilación de positrones

Los positriones de altas energías se comportan de forma similar a los electrones. A bajas energías los positriones tienen una alta probabilidad de ser capturados por algún electrón orbital y formar un estado ligado, denominado *positronio*.

Es un sistema similar al átomo de hidrógeno pero con estados energéticos dos veces menos espaciados.

Este sistema de desintegra en un proceso llamado aniquilación.

+ Si el positronio se encontraba en stado J=0 (para-positronio), el decaimiento preferencial es:

\begin{equation}
e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \qquad (\tau=10^{-10}s)
\end{equation}

donde cada $\gamma$ sale con una energía de 511 keV en el sistema CM. La probabilidad de que se emitan 4, 6, 8 fotones es despreciable.

+ Si el positronio se encontraba en estado J=1 (orto-positronio) el decaimiento preferencial es:

\begin{equation}
e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma + \gamma \qquad (\tau=10^{-7}s)
\end{equation}

Aquí también, la probabilidad de emisión de 5 ó 7 fotones es despreciable.

### Radiación de Cherenkov

Se produce cuando una partícula cargada viaje en un medio material a una velocidad mayor a la de la luz en dicho medio.

La radiación emitida es no-ionizante, consiste en fotones dentro de un rango de 350-500 nm. La pérdida de energía debido a este efecto es despreciable frente a colisiones o radiación de frenado ($\sim 1\%$)


El efecto se debe a la formación de dipolos que se producen cuando la partícula cargada atraviesa la materia. Éstos se relajan emitiendo radiación electromagnética. Si su velocidad de la partícula es chica comparada con la de la luz (en el medio), los dipolos son simétricos y se anulan entre sí. Si la velocidad es mayor, los dipolos son asimétricos y se produce una emisión neta de luz.


#### Análisis del fenómeno

La velocida de la luz en un medio con índice de refracción $n$ es:

\begin{equation}
v = \frac{c}{n}
\end{equation}

Lammamos $v_p$ a la velocidad de la partícula cargada, y definimos:

\begin{equation}
\beta = \frac{v_p}{c}
\end{equation}


La partícula recorre una distancia $d=v_p t$ en un tiempo $t$. En dicho tiempo, un frente de onda de la luz emitida recorrerá una distancia $r$:

\begin{equation}
r = v t = \frac{c}{n} t
\end{equation}

En base a esto queda definido el ángulo de emisión de la luz $\theta$ como:

\begin{equation}
\cos(\theta) = \frac{r}{d} = \frac{c}{nv_p} = \frac{1}{n\beta} \implies \boxed{\cos(\theta) = \frac{1}{n\beta}}
\end{equation}

La emisión de luz se producirá dentro del cono limitado por el ángulo $\theta$.

De esta última expresión vemos que para velocidades muy chicas, el término derecho podría ser mayor que la unidad. Por lo cual sólo se podrá emitir radiación Cherenkov si:

\begin{equation}
\cos(\theta) \leq 1 \implies \frac{1}{n\beta} \leq 1 \implies v_p \geq v \implies \beta \geq \frac{1}{n}
\end{equation}

---

**Ejemplo**: ¿Qué energía cinética debe tener un electrón para que produzca radiación Cherenkov en agua?

Se debe trabajar con la energía relativista $E=\gamma(\beta)m c^2$. La energía cinética relativista será:

\begin{equation}
T = [\gamma(\beta) - 1] mc^2
\end{equation}

La energía mínima la escribimos en función de lo que obtuvimos antes:

\begin{equation}
T_{min} = [\gamma(\beta_{min})-1] mc^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{1-\beta_{min}^2}}-1\right) mc^2 = \left( \frac{n}{\sqrt{n^2-1}}\right) mc^2
\end{equation}

Para el agua, $n=1.33$ y la energía en reposo del electrón es $mc^2=511keV$. Entonces:

\begin{equation}
\boxed{T_{min} = 264\,keV}
\end{equation}

---

Es posible observar que en un dado medio, existirá un ángulo máximo $\theta^{max}$ de emisión Cherenkov. Este límite se alcanza cuando $\beta=1$:

\begin{equation}
\cos(\theta^{max}) = \frac{1}{n} \implies \boxed{\theta^{max}=\arccos\left(\frac{1}{n}\right)}
\end{equation}