# 2017q3 Homework1(Ternary)
contributed by < `kevin55216` >
> #### Review by `maskashura`
>- 對bal3有明確的解說運算,但內容沒有針對 ternary adder 做分析
>- 需補充 ternary 在 IOTA 上的應用,這部份會是本次作業的重點!
>

> #### Review by `jackyhobingo`
> - 在英文與中文中間應該有空格做區分
> - Balanced Ternary 的優缺點敘述有點簡略，不應該只是比較少位元表示就比較有優勢，可以參考 [Radix_economy](https://en.wikipedia.org/wiki/Radix_economy)
> - 提出為什麼 tenary 電腦沒有普及的問題，但回答感覺並沒有到點，就好像任何只要需要重新實作的系統都不適合發展，

## Balanced Ternary 原理
Balanced Ternary 不同於二進位以 $0、1$ 表達的方式，Balanced Ternary 使用 $-1(T)、0、1$$(或用-,0,+來表示)$三個基本數位來表示。Balanced Ternary 轉換為十進位的公式如下:

$\sum_{i=1}^n (a_i)3^{(i-1)} for \ a_i=-1\ or\ 0\ or\ 1$

下面以正負整數做比較。

| 十進位 | $14$ | $-14$ |
| -------- | -------- | -------- |
| 二進位 | $1110$ | $10010$ |
| Balanced Ternary| $+---$ |$-+++$ |

二進位在$負數(-14)$的表現上必須在前面補上1且需要做$正數14$的補數$(0001)加1$；而Balanced Ternary只需要對正數做補數。
並且以二進位來說$10010$若不告訴閱讀者這是負數則有可能為$18$或者$-14$這兩種數，但Balanced Ternary則不然$T111$只有$-14$這一數。我們可以認為Balanced Ternary這一進位法是專為正負數系統所設計進位法。

另外在加法部分以下表作呈現。而在減法我們可以僅在前端做一個補數即

$x-y=x+(-y)$

| $S$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $C$| $-$ | $0$ | $+$ |
| - | - | - | - |-| -| - | - | - |
| $-$ | $+$ | $-$ | $0$ | |$-$ | $-$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $0$| $0$ | $0$ | $0$ |
| $+$ | $0$ | $+$ | $-$ | | $+$| $0$ | $0$ | $+$ |
乘法部分

| $\times$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| - | - | - | - |
| $-$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $+$ | $-$ | $0$ | $+$ |
例如:$7\times(-11)=1T1\times TT1=-77$
$\ \ \ \ \ 1T1\\
\times \ \underline{TT1}\\
\ \ \ \ \ \ 1T1\\
\ \ \ T1T\\
\underline{T1T\ \ \ \ \ }\\
T0011=-77$

在除法部分
$A\div B$
我們必須先求出$C=0.5B$，且$0.5$在Balanced Ternary中是以$0.\overline{1}\ or\ 1.\overline{T}$ 表示。
若$-C<A<C$則商為$0$，若$A>C,A<-C$則商分別為$1,T$。
我以[wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_ternary)中的範例來解說。
$111T\div 11$
$0.5\times 11=1T$
$第一層\ 11>1T=>set\ 1\\
第二層\ T1<01<1T=>set\ 0\\
第三層\ 1T=1T=>set\ 0.\overline{1}\ or\ 1.\overline{T}\\
得解\ 100.\overline{1}\ or\ 101.\overline{T}$
再來我提自己的例子$6\div 8$
$A=1T0,B=10T,C=11$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 01.\overline{T1}$
$10T\overline{)1T0\ \ \ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{10T}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ 0T1.0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{T0.1}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 01.T0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{1.0T}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.T1$
$第一層\ 11>1T>TT=>set\ 0, 餘1T\\
第二層\ 11<1T0=>set\ 1, 餘T1\\
第三層\ TT>T10=>set\ T, 餘1T\\
第四層\ 11<1T0=>set\ 1\\
得解\ 1.\overline{T1}$
## Balanced Ternary 的優缺點
### 在數值系統
在數值統中，高位元表示毋庸置疑能以較少位元數表示同一數，例如： 同樣是15，在16進位下，
只要0xE，3進位（0，1，2）需要120，2進位則需要1111。
但在平衡三進位中，特別強大的是其在負數上的表現，不需要多一位元來表示正負號，且在正負轉換
只需要進行補數。
### 實際上
上片敘述了種種ternary的強大之處，但為什麼ternary電腦沒有普及呢？
我們可以參考[electronics](https://electronics.stackexchange.com/questions/116502/suggestions-for-ternary-computer-parts)上的一張ternary的電路圖。
若現今的電腦系統要改成三進位電路就要重新設計，電路上的議題也會增加，許多的指令架構都要
從新做設計。
## 參考資料
[wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_ternary)
[techopedia](https://www.techopedia.com/why-not-ternary-computers/2/32427)
[electronics](https://electronics.stackexchange.com/questions/116502/suggestions-for-ternary-computer-parts)