# Quaternions 筆記

2024/11/02

## 四元數特性與定義

[來源]( https://hackmd.io/@shengwen/rotation-matrix)
- 四元數由一實數與三虛數組成 : $q=w+xi+yj+zk$
- 四元數虛數之間相互乘法不具有交換性:
- $i^2=j^2=k^2=-1$
- $ij=k,\ ji=-k$
- $jk=i,\ kj=-i$
- $ki=j,\ ik=-j$
- 四元數逆運算等於共軛值
- $q* = w -xi -yi-zk$
- $q^{-1} = q^* \space if|q|=1$
- 四元數乘法並不具備交換性，改變順序將會導致結果改變。

### 補充 酉矩陣（unitary matrix）: 逆矩陣=共軛矩陣
- 對於單位矩陣（即模長為1的矩陣），其逆矩陣等於其共軛轉置矩陣。這類矩陣稱為酉矩陣（unitary matrix）
- 酉矩陣是可對角化的，即 $U=VDV$，其中V是酉矩陣、D是對角矩陣。
-
酉矩陣和正交矩陣之間有一些重要的區別和相似之處：

1. **定義**：
- [**酉矩陣**（Unitary Matrix）：是一個複數矩陣，其列（或行）構成複數空間 ( $\mathbb{C}^n$ ) 的正交基。酉矩陣 ( U ) 滿足 ( $U^*U = UU^* = I$)，其中 ( U^* ) 是 ( U ) 的共軛轉置矩陣。
- [**正交矩陣**（Orthogonal Matrix）：是一個實數矩陣，其列（或行）構成實數空間 ( $\mathbb{R}^n$ ) 的正交基。正交矩陣 ( P ) 滿足 ( $P^T P = PP^T = I$ )，其中 ( $P^T$ ) 是 ( $P$ ) 的轉置矩陣。
2. **元素**：
- 酉矩陣的元素可以是複數。
- 正交矩陣的元素只能是實數。
3. **性質**：
- 酉矩陣的逆矩陣等於其共軛轉置矩陣，即 ( $U^{-1} = U^*$ )。
- 正交矩陣的逆矩陣等於其轉置矩陣，即 ( $P^{-1} = P^T$ )。
總結來說，酉矩陣可以看作是複數空間中的正交矩陣，而正交矩陣是實數空間中的特例。

### 使用範例

- 虛數部分 i,j,k為想要旋轉的軸
- 實數部分用來控制旋轉角度大小。
- 旋轉公式: $q\cdot p \cdot q^{-1}$，實際旋轉角度要/2，因為使用q旋轉時會造成位移，需要 $q^{-1}$抵銷位移，而它本身也會旋轉。

### 程式範例
[來源](https://www.songho.ca/opengl/gl_camera.html)
#### 四元數 = (s, vec3)

inline void Quaternion::set(const Vector3& axis, float angle)
{
    // use only half angle because of double multiplication, qpq*,
    // q at the front and its conjugate at the back
    Vector3 v = axis;
    v.normalize();                  // convert to unit vector
    float sine = sinf(angle);       // angle is radian
    s = cosf(angle);
    x = v.x * sine;
    y = v.y * sine;
    z = v.z * sine;
}

#### 給2個vector，得到旋轉的q

// find quaternion for rotating from v1 to v2
inline Quaternion Quaternion::getQuaternion(const Vector3& v1, const Vector3& v2)
{
    const float EPSILON = 0.001f;
    const float HALF_PI = acos(-1) * 0.5f;

    Vector3 u1 = v1;                    // convert to normal vector
    Vector3 u2 = v2;
    u1.normalize();
    u2.normalize();

    Vector3 v = u1.cross(u2);           // compute rotation axis
    float angle = acosf(u1.dot(u2));    // rotation angle
    return Quaternion(v, angle * 0.5f); // half angle
}

#### 算共軛

inline Quaternion& Quaternion::conjugate()
{
    x = -x;  y = -y;  z = -z;
    return *this;
}

inline Quaternion& Quaternion::invert()
{
    const float EPSILON = 0.00001f;
    float d = s*s + x*x + y*y + z*z;
    if(d < EPSILON)
        return *this; // do nothing if it is zero

    Quaternion q = *this;
    *this = q.conjugate() * (1.0f / d); // q* / |q||q|
    return *this;
}

#### 換算旋轉矩陣

inline Matrix4 Quaternion::getMatrix() const
{
    // NOTE: assume the quaternion is unit length
    // compute common values
    float x2  = x + x;
    float y2  = y + y;
    float z2  = z + z;
    float xx2 = x * x2;
    float xy2 = x * y2;
    float xz2 = x * z2;
    float yy2 = y * y2;
    float yz2 = y * z2;
    float zz2 = z * z2;
    float sx2 = s * x2;
    float sy2 = s * y2;
    float sz2 = s * z2;

    // build 4x4 matrix (column-major) and return
    return Matrix4(1 - (yy2 + zz2),  xy2 + sz2,        xz2 - sy2,        0, // column 0
                   xy2 - sz2,        1 - (xx2 + zz2),  yz2 + sx2,        0, // column 1
                   xz2 + sy2,        yz2 - sx2,        1 - (xx2 + yy2),  0, // column 2
                   0,                0,                0,                1);// column 3

    // for non-unit quaternion
    // ss+xx-yy-zz, 2xy+2sz,     2xz-2sy,     0
    // 2xy-2sz,     ss-xx+yy-zz, 2yz-2sx,     0
    // 2xz+2sy,     2yz+2sx,     ss-xx-yy+zz, 0
    // 0,           0,           0,           1
}

#### 使用範例

 glPushMatrix();

// tramsform camera  (取代lookAt function)
Matrix4 mat = quat.getMatrix(); // view matrix  --> Camera的視角旋轉
mat.translate(0, 0, -cameraDistance); //---->位移camera
glMultMatrixf(mat.get());

draw(....);

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### 參考
1. https://hackmd.io/@shengwen/rotation-matrix
2. https://youtu.be/zjMuIxRvygQ
3. https://eater.net/quaternions/video/intro

### 其他讀物

1. https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf from https://github.com/Krasjet/quaternion