---
tags: '資安'
---

# Ch4 數論

### 有限體
* (A1) Closure: 如果a,b $\in$ G,則a$\cdot$b $\in$ G
* (A2) Associative:

一個體 (域，field) {F} 是賦予加法與乘法運算的集合，並滿足下列性質：

>$加法封閉性：若 a, b\in{F}, 則 a+b\in{F}。$
$加法交換律：若 a, b\in{F}, 則 a+b=b+a。$
$加法結合律：若 a, b, c\in{F}, 則 a+(b+c)=(a+b)+c。$
$加法單位元：對於每一 a\in{F}，僅存在唯一 0\in{F} 使得 a+0=a。$
$加法逆元：對於每一 a\in{F}, 存在唯一 (-a)\in{F} 使得 a+(-a)=0。$

$乘法交換律：若 a, b\in{F}, 則 ab=ba。$
$乘法結合律：若 a, b, c\in{F}, 則 a(bc)=(ab)c。$
$乘法單位元：對於每一 a\in{F}, 僅存在唯一 1\in{F} 使得 a1=a。$
$乘法逆元：對於每一 a\in{F} 且 a\neq 0, 存在唯一 a^{-1}\in{F} 使得 aa^{-1}=1。$
$分配律：若 a, b, c\in{F}，則 a(b+c)=ab+ac。$
>[color=#907bf7][name=field]

##### Groups
A1 Closure:$若 a, b\in{G}, 則 ab\in{G}。$
A2 Associative:$若 a, b, c\in{F}, 則 a(bc)=(ab)c$
A3 Identity element:$對於每一 a\in{F}, 僅存在唯一 1\in{F} 使得 a1=a$
A4 Inverse element:$對於每一 a\in{F} 且 a\neq 0, 存在唯一 a^{-1}\in{F} 使得 aa^{-1}=1$

##### Abelian Groups
A1~A4
A5 Commutative:$若 a, b\in{F}, 則 ab=ba。$

##### Ring
A1~A5
M1 Closure under multiplication:$若 a, b\in{G}, 則 ab\in{G}。$
M2 Associativity of multiplication:$若 a, b, c\in{F}, 則 a(bc)=(ab)c$
M3 Distributive laws:$若 a, b, c\in{F}，則 a(b+c)=ab+ac$

##### commutative ring
A1~M3
M4 Commutativity of multiplication:$若 a, b\in{R}, 則 ab=ba$

##### integral domain
A1~M4
M5 Multiplicative identity:$對於每一 a\in{F}, 存在 1\in{F} 使得 a1=a$
M6 No zero divisors:$若 a, b\in{R} 且 ab=0,則a=0或b=0$

##### field
A1~M6
M7 Multiplicative inverse:$對於每一 a\in{F}, 除了0以外,存在a^{-1}使得aa^{-1}=a^{-1}a=1$