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# System prepended metadata

title: Untitled

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## Notation
$\mathbb S^{n\times m}$: m入力n出力線形時不変システムの集合 (入出力の数は省略することがある)
$\mathbb V^n$: n変数信号の集合(信号の数は省略することがある)

$\mathbb C^+$: 複素数平面の右閉半面(実部が0以上)

Lower linear fractional transformation
$\mathcal F_{22}\left(\left[\begin{matrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{matrix}\right];  C\right):=H_{11} + H_{12}C(I-H_{22}C)^{-1}H_{21}$

Upper linear fractional transformation
$\mathcal F_{11}\left(\left[\begin{matrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{matrix}\right];  C\right):=H_{22} + H_{21}C(I-H_{11}C)^{-1}H_{12}$

$I_n\in \mathbb S^{n\times n}$: n×nの恒等システム(nは省略されることもある)

$\rho(X)$: 正方行列$X$の固有値の(重複つき)集合

$\sigma(X)$: 行列$X$の特異値の(重複つき)集合

システム$S\in \mathbb S$について、$S(s)$: $S$の伝達関数(行列)
## 問題設定

ローカルシステムがn台ある

ローカルシステム$H = \left[\begin{matrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{matrix}\right]\in \mathbb S^{(q+p)\times (q+p)}$

ローカルシステム群$\boldsymbol H := I_n \otimes H\in \mathbb S^{(n\times (q+p))\times(n\times (q+p))}$

ネットワーク$A\in \mathbb S^{n\times n}$

* Haraら(2019)[1]の論文では$A\in\mathbb R^{n\times n}$の場合(すなわち直達システムの場合)のみを議論していたが、ここではそのような制限は特に設けず、任意のシステムとする。

ネットワーク接続$\boldsymbol A:= A\otimes I_p\in \mathbb S^{(n\times p)\times (n\times p)}$

全体のシステムの誤差$\boldsymbol \Delta\in \mathbb S^{(n\times q)\times (n\times q)}$

システム全体(安定化対象)$S:=\left(I_{n\times q} - \boldsymbol \Delta \mathcal F_{22}(\boldsymbol H; \boldsymbol A)\right)^{-1}$

許容誤差の集合$\mathcal D$が与えられ、すべての$\boldsymbol \Delta \in \mathcal D$について$S$が安定であるような$\boldsymbol H, \boldsymbol A$の必要十分条件を求めることを目標とする。

<!-- ## Prop.1 (小ゲイン定理の拡張)
:::success

あるシステム$\boldsymbol G$とシステム集合$\mathcal D$が与えられたとき、

$$\mathcal D\subset \{\boldsymbol \Delta\in\mathbb S | \|\boldsymbol \Delta\|_{\infty} \le \gamma^{-1} \}$$

$$\gamma^{-1}I \in \mathcal D$$

を満たしていれば、

* $\forall \boldsymbol \Delta \in \mathcal D$について、$T:=\left(I - \boldsymbol \Delta \boldsymbol G\right)^{-1}$が安定であること
* $\|\boldsymbol G\|_\infty < \gamma$

が同値である。
:::

証明:

$\forall \boldsymbol \Delta \in \mathcal D, \|\boldsymbol \Delta \boldsymbol G\|_{\infty} < 1\Leftrightarrow \|\boldsymbol G\|_{\infty} < \gamma$を証明すればよい。

($\Leftarrow$)ノルムの劣乗法性。

H∞ノルムの定義

$$\|\boldsymbol G\|_{\infty}:=\sup_{\boldsymbol u: \mathbb V, \|\boldsymbol u\|_2 = 1} \|\boldsymbol G\boldsymbol u\|_2$$

から、明らかに

$$\begin{align}\|\boldsymbol \Delta\boldsymbol G\|_{\infty}&=\sup_{\boldsymbol u: \mathbb V, \|\boldsymbol u\|_2 = 1} \|\boldsymbol \Delta\boldsymbol G\boldsymbol u\|_2\\
&\le \|\boldsymbol \Delta\|_\infty \sup_{\boldsymbol u: \mathbb V, \|\boldsymbol u\|_2 = 1} \|\boldsymbol G\boldsymbol u\|_2 \\
& = \|\boldsymbol \Delta\|_\infty\|\boldsymbol G\|_\infty \\
& < \gamma^{-1}\gamma = 1 \\
\end{align}$$

($\Rightarrow$)

対偶($\|\boldsymbol G\|_{\infty} \ge \gamma \Rightarrow \exists \boldsymbol \Delta \in \mathcal D, \|\boldsymbol \Delta \boldsymbol G\|_{\infty} \ge 1$)を示す。

$\gamma^{-1}I\in \mathcal D$なので、$\boldsymbol \Delta  = \gamma^{-1}I$とおく。$\|\boldsymbol \Delta \boldsymbol G\|_{\infty} = \gamma^{-1}\|\boldsymbol G\|_{\infty} \ge \gamma^{-1}\gamma = 1$である。
□

### Cor.1.1 (Homogeneousな誤差がある場合、Heterogeneousな誤差がある場合、交差誤差がある場合)
:::success

$$\begin{align}
\mathcal D_1(\gamma)\ &:= \{I_n\otimes \Delta | \Delta \in \mathbb S^{p\times p}, \|\Delta\|_\infty \le \gamma \}\\
\mathcal D_2(\gamma)\ &:= \{\mathrm{diag}(\Delta_i) | \Delta_i \in \mathbb S^{p\times p}, \|\Delta_i\|_\infty \le \gamma , i\in\{1, \dots, n\} \}\\
\mathcal D_3(\gamma)\ &:= \{\boldsymbol \Delta |  \|\boldsymbol \Delta\|_\infty \le \gamma \}\\
\end{align}$$

これらはすべてProp.1が成り立つ。
:::
 -->
## Prop.1 (ノミナルモデルが一様な要素からなるネットワークシステムの固有値)

:::success
$$\begin{align}\boldsymbol G &:= \mathcal F_{22}(\boldsymbol H; \boldsymbol A)\\
&:=\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; A\otimes I_p)\\
&:=\mathcal F_{22}(I_n\otimes \left[\begin{matrix}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\end{matrix}\right]; A\otimes I_p)\\
\end{align}$$

としたとき、$\rho(\boldsymbol G(s))$は次の式で与えられる:

$$\rho(\boldsymbol G(s))=\bigcup_{\lambda\in\rho(A(s))}\rho\left(\mathcal F_{22}(H; \lambda I_p)(s)\right)$$

:::

証明:


**Lemma**. $s$を固定して考える。$(\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; A\otimes I_p))(s)$の固有空間に属するベクトル$\boldsymbol v\in \mathbb R^{n\times p}$が、全て$\boldsymbol v = \boldsymbol a\otimes \boldsymbol h \space\space(\boldsymbol a\in (A\text{の固有空間}), \boldsymbol h\in\mathbb R^p)$という形で書けることを証明する。

$$\begin{align}
&\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; A\otimes I_p) \\
&:= I_n\otimes H_{11} + (I_n\otimes H_{12})(A\otimes I_p)(I_{n\times p}-(I_n\otimes H_{22})(A\otimes I_p))^{-1}(I_n\otimes H_{21})\\
&= I_n\otimes H_{11} + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21})\\
\end{align}$$

これが$A\otimes I_p$と可換である(すなわち同時対角化可能である)ことを示せばよい。

$$(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))(A\otimes I_p) =(A\otimes I_p)-(A^2\otimes H_{22}) =  (A\otimes I_p)(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))$$

の両辺から$(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}$をかけることによって、
$$(A\otimes I_p)(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1} = (I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(A\otimes I_p)$$

が示せる。これを用いると、

$$\begin{align}
&(I_n\otimes H_{11} + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21}))(A\otimes I_p)\\
&=(I_n\otimes H_{11})(A\otimes I_p) + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21})(A\otimes I_p)\\
&=(A\otimes I_p)(I_n\otimes H_{11}) + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(A\otimes I_p)(I_n\otimes H_{21})\\
&=(A\otimes I_p)(I_n\otimes H_{11}) + (A\otimes H_{12})(A\otimes I_p)(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21})\\
&=(A\otimes I_p)(I_n\otimes H_{11}) + (A\otimes I_p)(A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21})\\
&=(A\otimes I_p)(I_n\otimes H_{11} + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21}))\\
\end{align}$$

と、可換性が示せる。
□

Lemmaより、$\boldsymbol a$は$A(s)$の固有空間に属するので、その固有値を$\lambda$とする。

ここで、任意の$\boldsymbol u\in \mathbb R^p$について、
$$(I_{n\times p} - A\otimes H)(\boldsymbol a\otimes \boldsymbol u) = (\boldsymbol a\otimes \boldsymbol u) - (\lambda \boldsymbol a\otimes H\boldsymbol u) = \boldsymbol a\otimes (I_p - \lambda H)\boldsymbol u$$

より、$\boldsymbol u = (I_p-\lambda H)^{-1}\boldsymbol h$とすることで、

$$(I_{n\times p} - A\otimes H)^{-1}(\boldsymbol a\otimes \boldsymbol h) = \boldsymbol a\otimes (I_p-\lambda H)^{-1}\boldsymbol h$$

が示せる。これを用いると、

$$\begin{align}&(I_n\otimes H_{11} + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21}))(\boldsymbol a\otimes \boldsymbol h) \\
&=(\boldsymbol a\otimes H_{11}\boldsymbol h) + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(\boldsymbol a\otimes H_{21}\boldsymbol h)\\
&=(\boldsymbol a\otimes H_{11}\boldsymbol h) + (A\otimes H_{12})(\boldsymbol a\otimes (I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21}\boldsymbol h)\\
&=(\boldsymbol a\otimes H_{11}\boldsymbol h) + (\boldsymbol a\otimes \lambda H_{12}(I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21}\boldsymbol h)\\
&=\boldsymbol a\otimes ( H_{11}+\lambda H_{12}(I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21})\boldsymbol h\\
\end{align}$$

$\boldsymbol v = \boldsymbol a\otimes \boldsymbol h$は$\boldsymbol G(s)$の固有ベクトルなので、その固有値を$\mu$とおくと、
$$\mu \boldsymbol a\otimes \boldsymbol h = \boldsymbol a\otimes ( H_{11}+\lambda H_{12}(I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21})\boldsymbol h$$

となる必要がある。よって、

$$\mu \boldsymbol h = ( H_{11}+\lambda H_{12}(I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21})\boldsymbol h$$

であり、$\mu$は$( H_{11}+\lambda H_{12}(I_p-\lambda H_{22})^{-1}H_{21}) =: \mathcal F_{22}(H; \lambda I_p)$の固有値であることがわかる。

■
### Cor.1.1 (ノミナルモデルが一様な要素からなるネットワークシステムのH∞ノルムと、ロバスト安定性の十分条件)
:::success
$$\|\boldsymbol G\|_{\infty}=\sup_{\omega\in \mathbb R}\max_{\lambda\in\sigma(A(i\omega))}\left(\max|\sigma\left(\mathcal F_{22}(H(i\omega); \lambda I_p)\right)|\right)$$

である。また、小ゲイン定理を適用することで、すべての∞ノルムが$\gamma^{-1}$以下の$\boldsymbol \Delta$について、

$$S:=\left(I_{n\times q} - \boldsymbol \Delta \boldsymbol G\right)^{-1}$$

が安定になるためには、$\|\boldsymbol G\|_{\infty}<\gamma$、すなわち

$$\forall s\in \mathbb C^+, \forall \lambda\in\sigma(A(s)),\forall \mu\in \sigma\left(\mathcal F_{22}(H(s); \lambda I_p)\right),|\mu|<\gamma$$

であれば十分である。
:::

### Cor.1.2 (虚軸上のみの条件)
:::success

$$\forall s\in \mathbb C^+, \forall \lambda\in\sigma(A(s)),\forall \mu\in \sigma\left(\mathcal F_{22}(H(s); \lambda I_p)\right),|\mu|<\gamma$$

は、

$$\forall \omega\in \mathbb R, \forall \lambda\in\sigma(A(i\omega)),\forall \mu\in \sigma\left(\mathcal F_{22}(H(i\omega); \lambda I_p)\right),|\mu|<\gamma$$

かつ、$\lambda(s)$をそれぞれの$s$について連続に選んだものの一つとしたとき、すべての$\lambda(s)$の選び方について、$\mathcal F_{22}(H(s); \lambda(s) I_p)$が安定であることと同値である。

:::

特に、Haraら(2019)[1]の論文で議論されているような$A(s)$が$s$に依存しない、すなわち直達の場合、$\lambda(s)$は定数なので、後者の安定性条件はラウス・フルビッツの安定判別法を用いて判別できる。$A(s)$が$s$に依存する場合、$\lambda(s)$は$s$の多項式にならないので直接多項式の安定判別法を利用することができないが、
$$\exists \lambda\in\mathbb C, \mathrm{det}(\lambda I-A(s)) = 0 \land \mathrm{Denominator}(\mathcal F_{22}(H(s); \lambda I_p)) = 0$$

は多項式の共通解条件なので終結式やGroebner基底を用いて$\lambda$を消去することができ、$s$に関する多項式の条件を得ることができ、その上で多項式の安定判別法を用いて判別できる。Cor.1.2においてより本質的な1つめの条件についても同様な議論が成り立ち、$\lambda$を消去することで$\omega$を与えられた時に$\lambda$の値を明示的に求めずに条件を満たしているかどうかを判定できる。さらに、変数にメビウス変換をしてやることによって$|\mu|<\gamma$の条件を$\mathrm{Re}(\mu')<0$に変換することができ、ラウス・フルビッツの手法によって$\forall s\in\mathbb C^+$も消去することができる。

## Prop.2 (ノミナルモデルと誤差がどちらも一様な要素からなるネットワークシステムのロバスト安定性の必要条件)

:::success
一様誤差の集合
$$\mathcal D_1(\gamma^{-1})\ := \{I_n\otimes \Delta \big| \Delta \in \mathbb S^{q\times q}, \|\Delta\|_\infty \le \gamma^{-1} \}$$

を定義する。すべての$\boldsymbol \Delta \in\mathcal D_1(\gamma^{-1})$について、

$$S:=\left(I_{n\times q} - \boldsymbol \Delta \boldsymbol G\right)^{-1}$$

が安定になるためには、

$$\forall s\in \mathbb C^+, \forall \lambda\in\rho(A(s)),\forall \mu\in \sigma\left(\mathcal F_{22}(H(s); \lambda I_p)\right),|\mu|<\gamma$$

すなわち、$\|\boldsymbol G\|_{\infty}<\gamma$が必要である。
:::
この命題はHaraら(2019)[1]によって既に示されているが、簡潔に証明をまとめる。

証明:

今$\boldsymbol \Delta = I_n\otimes \Delta$としているので、

$$\boldsymbol \Delta\boldsymbol G=(I_n\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; A\otimes I_p)$$

である。先ほどと同じく$s$を固定して考える。$A(s)$の対角化$A(s)=:T\Lambda T^{-1}$を考える。($A(s)$が対角化できない場合も微小に摂動を加えれば対角化できるようになり、固有値の連続性から問題ない。)

また、Linear Fractional Transformの定義より、
$$\begin{align}
\boldsymbol \Delta\boldsymbol G
&=(I_n\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; A\otimes I_p)\\
&=(I_n\otimes\Delta)(I_n\otimes H_{11} + (A\otimes H_{12})(I_{n\times p}-(A\otimes H_{22}))^{-1}(I_n\otimes H_{21}))\\
&=(I_n\otimes\Delta)(I_n\otimes H_{11} + (AT\otimes H_{12})((T^{-1}T\otimes I_{p})-(T^{-1}AT\otimes H_{22}))^{-1}(T^{-1}\otimes H_{21}))\\
&=(T\otimes\Delta)(I_n\otimes H_{11} + (T^{-1}AT\otimes H_{12})(I_{n\times p}-T^{-1}AT\otimes H_{22})^{-1})(T^{-1}\otimes H_{21})\\
&=(T\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; T^{-1}AT\otimes I_p)(T^{-1}\otimes I_p)\\
&=(T\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; \Lambda\otimes I_p)(T^{-1}\otimes I_p)\\
\end{align}$$

が成り立つ。

ここで、任意の正方行列$X, Y$に対して$\sigma(XY) = \sigma(YX)$である(∵$XY$の固有値$\alpha$の固有ベクトル$\boldsymbol x$に対して、$Y\boldsymbol x$は$YX$の固有値$\alpha$の固有ベクトルである)ことを用いると、
$$\begin{align}
\sigma(\boldsymbol \Delta\boldsymbol G)&=\sigma((T\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; \Lambda\otimes I_p)(T^{-1}\otimes I_q))\\
&=\sigma((T^{-1}\otimes I_q)(T\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; \Lambda\otimes I_p))\\
&=\sigma((I_n\otimes\Delta)\mathcal F_{22}(I_n\otimes H; \Lambda\otimes I_p))\\
&=\bigcup_{\lambda\in \Lambda}\sigma(\Delta\mathcal F_{22}(H; \lambda I_p))\\
\end{align}$$

従って、

$$\begin{align}&\forall \boldsymbol \Delta\in\mathcal D_1(\gamma^{-1}), (I_{n\times q} - \boldsymbol \Delta\boldsymbol G)^{-1}\text{が安定}\\
&\Leftrightarrow \forall \boldsymbol \Delta\in\mathcal D_1(\gamma^{-1}), \forall s\in\mathbb C^+, 1\not\in\sigma(\boldsymbol \Delta(s)\boldsymbol G(s))\\
&\Leftrightarrow \forall \|\Delta\|_{\infty} \le \gamma^{-1}, \forall s\in\mathbb C^+, \forall \lambda\in \Lambda, 1\not\in\sigma(\Delta(s)\mathcal F_{22}(H(s); \lambda(s) I_p))\\
&\Leftrightarrow \forall \lambda\in \Lambda, \forall \|\Delta\|_{\infty} \le \gamma^{-1}, (I_q - \Delta\mathcal F_{22}(H; \lambda(s) I_p))^{-1}\text{が安定}\\
&\Leftrightarrow \forall s\in \mathbb C^+, \forall \lambda\in \Lambda, \|\mathcal F_{22}(H(s); \lambda(s) I_p)\|_\infty < \gamma\space\space\space\text{(小ゲイン定理を適用)}\\
&\Leftrightarrow \forall s\in \mathbb C^+, \forall \lambda\in \sigma(A(s)), \forall \mu \in \sigma(\mathcal F_{22}(H(s); \lambda(s) I_p)), |\mu|< \gamma\\
\end{align}$$

よって、必要条件が示された。
■

もともとの問題設定では、一様でない誤差集合
$$\mathcal D_2(\gamma)\ := \{\mathrm{diag}(\Delta_i) | \Delta_i \in \mathbb S^{q\times q}, \|\Delta_i\|_\infty \le \gamma , i\in\{1, \dots, n\} \}$$

上での問題を考えようとしていたが、Cor.1.1でこれより広い範囲
$$\mathcal D_3(\gamma)\ := \{\boldsymbol \Delta |  \|\boldsymbol \Delta\|_\infty \le \gamma \}$$

にて十分条件が得られ、Prop.2でこれより狭い範囲$\mathcal D_1$において必要条件が得られ、それらが一致しているので、$\mathcal D_1,\mathcal D_2, \mathcal D_3$すべての場合において必要十分条件が得られている。

## 参考文献
[1] Hara, S., Iwasaki, T., & Hori, Y. (2019). Robust stability analysis for LTI systems with generalized frequency variables and its application to gene regulatory networks. Automatica, 105, 96-106.