# Mathe 2 Cheatsheet

## Allgemein
### Funktionen
* $f(x) = f(-x)$: gerade
* $-f(x) = f(-x)$: ungerade

### Wurzel
* $a \cdot \sqrt[n]{x} \pm b \cdot \sqrt[n]{x} = (a \pm b) \sqrt[n]{x}$
* $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$
* $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$
* $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$
* $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot m]{x}$
* $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$
* $\sqrt{-1} = i$

### Potenzen
* $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
* $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
* $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$
* $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
* $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$
* $\frac{1}{x} = x^{-1}$

### Logarithmus
* $\ln(0)$ = undefiniert
* $\ln(1) = 0$
* $\ln(e) = 1$
* $\ln(x \cdot y) = \ln x + \ln y$
* $\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y$
* $\ln x^n = n \cdot \ln x$
* $\ln\sqrt[n]{x} = \frac{\ln x}{n}$
* $\lim_{x\rightarrow\infty} \ln(x) = \infty$
* $\lim_{x\rightarrow -\infty} \ln(x) = -\infty$

### Trigonometrische Funktionen
$k \in \mathbb{Z}$
* $\sin(k \cdot \pi) = 0$
* $\sin(2k \pi + \frac{\pi}{2}) = 1$
* $\sin(2k \pi + \frac{3\pi}{2}) = -1$
* $\sin(2k \pi + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
* $\sin(2k \pi + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\cos(k \pi + \frac{\pi}{2}) = 0$
* $\cos(2k \pi) = 1$
* $\cos((2k + 1) + \pi) = -1$
* $\cos(2k \pi + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
* $\cos(2k \pi + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \sin(y)\cos(x)$
* $\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$

### Euler
* $e^{\ln(x)} = x$
* $|e^{it}| = 1$
* $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$
* $e^{z+2\pi i} = e^z$
* $\lim_{x\rightarrow\pm\infty} e^x = \infty$
* $e^{iz} = \cos(z) + i \cdot \sin(z)$

### Hyperbolische Funktionen
* $\sinh(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}, z \in \mathbb{C}$
* $\cosh(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}, z \in \mathbb{C}$
* $\tanh(z) := \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}, z \in \mathbb{C}\backslash \{k\pi + \frac{\pi}{2}i: k \in \mathbb{Z}\}$

### Komplexe Zahlen
* $\bar{z} = x - yi$
* $z \cdot \bar{z} = |z|^2$
* $|z| = |\bar{z}|= \sqrt{x^2+y^2}$
* $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
* $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
* $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
* Eulersche Formel: $e^{iz} = \cos(z) + sin(z) i$

## Taylorapproximation
### Taylorpolynom
$$
T_{k,f}(x;x_0) = \sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n, k \in \mathbb{N}
$$

### Satz von Taylor
$$
\begin{align*}
f(x) &= T_{k,f}(x;x_0) + \frac{f^{(k + 1)}(\xi)}{(k + 1)!}(x - x_0)^{k+1}, k \in \mathbb{N}_0, \xi \in (x, x_0)\\
R_{k,f}(x;x_0) &= \frac{f^{(k + 1)}(\xi)}{(k + 1)!}(x - x_0)^{k+1}, k \in \mathbb{N}_0, \xi \in (x, x_0)
\end{align*}
$$

Oftmals wird das umgeformt in der Form $f(x) - T_{k,f}(x;x_0) = \frac{f^{(k + 1)}(\xi)}{(k + 1)!}(x - x_0)^{k+1}$, damit die linke Seite ersetzen kann.

## Extremwertpunkte in mehreren Variablen
* $\frac{\partial f}{\partial x} = f_x(x, y)$: Erste Ableitung nach $x$
* Gradient: $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}$
* Hessematrix: $H_f(x, y) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial f}{\partial y \partial y}
\end{pmatrix}$
* Falls $f$ stetig ist, so ist die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch, d.h. $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$
* Extremwertpunkte bestimmen:
* Kritische Punkte = Nullstelle
1. Nullstellen bestimmen: $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}0 & 0\end{pmatrix}$
2. Nullstellen in Hessematrix $H_f(x, y)$ einsetzen
* Falls nur die linke Diagonale $\neq$ 0, dann Eigenwerte direkt ablesbar
* Ansonsten $\det(H_f(x, y) - \lambda I)$ bestimmen
5. Ergebnisse Eigenwerte einer Nullstelle:
* Alle positiv: Minimum
* Alle negativ: Maximum
* Gemischt: Indefinit/Sattelpunkt

## Fixpunkt
Voraussetzung:
* $(V, ||\cdot||_v)$ Banachraum
* $M \subseteq V$ ist abgeschlossen
* $f: M \rightarrow M$
* Zeigen $M \rightarrow M$: Grenzen von Wertebereich von $f$ in die Funktion einsetzen und schauen, ob die Grenzen im selben Wertebereich sind

Es existiert ein $q \in (0, 1)$ d.h. es gibt genau ein $v \in M$ mit $f(v) =v$ ($f$ hat genau einen Fixpunkt in $M$) und es gilt $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = v$
$$
||f(x) - f(y)||_v \leq q||x - y||v, x,y \in M
$$

Fehlerabschätzungen:
$$
\begin{align*}
||x_n - v||_v &\leq \frac{q^n}{1-q}||x_1 - x_0|| & \text{(A-priori-Abschätzung)}\\
||x_n - v||_v &\leq \frac{q}{1-q}||x_n - x_{n - 1}|| & \text{(A-posteriori-Abschätzung)}
\end{align*}
$$

### Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
$$
f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a); a,b \in \mathbb{R}, f \in C([a,b]) \text{ in } (a, b) \text{ differenzierbar}, \xi \in (a,b)
$$

## Differenzierbarkeit


### Ableitungsformate
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
| --------------------------------- | --------------------------------------- |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $\sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}$ | $\frac{k}{n} \cdot x^{\frac{k}{n}-1}$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $e^{a \cdot x^n}$ | $a \cdot n \cdot x^{n-1} \cdot e^{x^n}$ |

### Ableitungsregeln
| Regel | $f(x)$ | $'f(x)$ |
| ---------- | ------------------- | ------------------------------------------------------ |
| Ketten | $g(h(x))$ | $g'(h(x)) \cdot h'(x)$ |
| Produkt | $g(x) \cdot h(x)$ | $g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ |
| Quotienten | $\frac{g(x)}{h(x)}$ | $\frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$ |

## Integration
### Substitutionsregel
$$
\int_c^d f(x) \ dx = \int_{g(c)}^{g(d)} f(g(t)) \cdot g'(t) \ dt
$$
1. Wähle ein $g(t) = t$, dass ein $x$ aus $f(x)$ ersetzen soll.
1. Bestimme die g'(t) und setze dies hier ein $\frac{dt}{dx} = g'(t)$.
1. Forme es nach $dx = \frac{dt}{g'(t)}$ um.
1. Ersetze das $dx$ in $\int_c^d f(x) \ dx$ und ersetze anschließend alle $x$ durch $g(t)$
1. Passe die Grenzen an, dass sie nun von $g(t)$ abhängig sind und nicht mehr von $x$.
1. Löse $\int_{g(c)}^{g(d)} f(g(t)) \cdot g'(t) \ dt$.

### Partielle Integration
$$
\int_a^b f'(x)g(x) \ dx = f(x)g(x)|_{x=a}^{x=b} - \int_a^b f(x)g'(x) \ dx
$$
* Wähle als $g(x)$ eine Funktion, die sich einfach ableiten lässt, damit damit sich das $x$ im Integral reduzieren lässt.
* Falls das Integral immer noch komplex ist (zwei Funktionen mit $x$), wende die partielle Integration auf das Integral an.

## Konvergenz, Grenzwert, Reihen
### Wichtige Reihen
* Geometrische Reihe: $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}, |q| < 1$ konvergiert
* Harmonische Reihe: $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}$ divergiert
* Alternierende harmonische Reihe: $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1}$
*
* Exponentialfunktion $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \exp(z)$
* $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = e$
* $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

### Kriterien
* Nullfolgekriterium
* Eine Reihe divergiert, wenn die Folge ihrer Summanden keine Nullfolge ist.
* $\lim_{n \rightarrow \infty} 0$
* Leibniz-Kriterium
* Anwendbar: Alternierendes Element $(-1)^n$ vorhanden
* Voraussetzung:
* Ist $a_n$ monoton fallend ($a_{n+1} - a_n \leq 0)$
* Besitzt eine Nullfolge $\lim_{n \rightarrow \infty} = 0$
* $\Rightarrow \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n a_n$ ist konvergent
* Wurzelkriterium
* Anwendbar: Produkten und Quotienten bei Fakultäten, Binomialkoeffizienten oder $x^n$
* $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \begin{cases} < 1 & \text{absolut konvergent}\\> 1 & \text{divergent}\end{cases}$
* Quotientenkriterium
* Anwendbar: "hoch n" außer $x^n$
* $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \begin{cases} < 1 & \text{absolut konvergent}\\> 1 & \text{divergent}\end{cases}$
* Majorantenkriterium: $|a_n| < b_n \forall n \geq n_0$ und die Reihe $b_n$ ist konvergent $\Rightarrow a_n$ ist absolut konvergent
* Minorantenkriterium: $a_n \geq b_n \geq 0 \ \forall n \geq n_0$ und die Reihe $b_n$ ist divergiert $\Rightarrow a_n$ divergiert

### Potenzreihe
* Satz von Hadamard für Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n, x \in \mathbb{K}$
* Vorausetzung: $a_n$ unbeschränkt und $\varrho := \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
* Es gilt folgendes:
* $\sqrt[n]{|a_n|}$ unbeschränkt: Potenzreihe konvergiert nur für $x = 0$ und der Konvergenzradius ist $0$
* $\varrho = 0$: Potenzreihe konvergiert für alle $x \in \mathbb{K}$ und der Konvergenzradius ist $\infty$
* $\varrho \in (0, \infty)$: Potenzreihe für alle $x \in \mathbb{K}$ konvergiert mit $|x| < 1$ und divergent für $|x| > 1$ und der Konvergenzradius ist $\frac{1}{\varrho}$
* Potenzradius einer Potenzreihe $\sum_{n=n_0}^\infty a_n(x - x_0)^n$: $r = (\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|})^{-1}$
* Quotientenkriterium Konvergenzradius: $r = \begin{cases}\frac{1}{\varrho} & \varrho \in (0, \infty) \\ \infty& \varrho = 0\end{cases}$

## Differentialgleichungen