# FM Stereo Multiplexing
###### tags: `通訊`
###### 撰寫時間 : 2022/01/03
## 要求
前面講到的都是單聲道，但隨著時代演進，人對聲音品質的要求越來越大，而有了立體聲，立體聲是使用2個或多個獨立的音效通道，以此系統來說是有2個聲道，由左聲道和右聲道組成。並有一個要求 - 向下相容 : 開發產品時，要記得相容性的問題，讓買舊產品(單聲道的收音機)也能聽到聲音。

## 傳送端(TX)
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### 輸入訊號
輸入訊號有左聲道的$l(t)$和右聲道的$r(t)$，把訊號先做re-make，上方是兩個聲道相加$l(t) + r(t)$，這邊是為了讓系統能向下相容，因為單聲道是左聲道加上右聲道，一定要產生單聲道可以聽到的聲音，而為了使$l(t) + r(t)$的訊號可以解開來，因此需要送一個$l(t) - r(t)$的訊號。

### Pilot Tone
由於一般FM廣播是$15\rm{kHz}$，因此我們選定一個訊號$f_p=19 \rm{kHz}$，而這個頻率就稱為`pilot tone`，把訊號區隔開來，用`frequency multiplier`(乘法器+BPF)，把$19 \rm{kHz}$訊號變成$19 \cdot 2 = 38 \rm{kHz}$，因此$l(t) - r(t)$的訊號會落在中心頻率$38 \rm{kHz}$的頻帶，另一段$l(t) + r(t)$的訊號落在最大頻率為$15 \rm{kHz}$的位置，而$l(t) + r(t)$與$l(t) - r(t)$離$f_p=19 \rm{kHz}$各還有$4\rm{kHz}$的距離，因此就可以做一個比較實際的bandpass filter把兩者過濾開來。

### Deviation Ratio
當輸入訊號$m(t)$為任意值時，根據Carson's rule的經驗法則得頻寬為
$$
\text{Define deviation ratio } D \triangleq \frac{\text{max of } |\frac{d\phi(t)}{dt}|}{\text{bandwidth of }m(t)}\\
\text{Transmission Bandwidth } B = 2(D+1)\cdot W
$$
如果是單聲道的FM傳送機，$m(t)$的頻寬為$15 \rm{kHz}$，而立體聲的FM傳送機，$m(t)$的頻寬則為$15 + 38 = 53 \rm{kHz}$，由於兩者具是相同的peak deviation，因此立體聲FM傳送機的deviation ratio $D$會減少$\frac{ 53}{15} = 3.53$，根據FM demodulator輸出訊號的SNR公式
$$
\begin{align*}
(\rm{SNR})_{\rm{DF}} &= \frac{K^2_D f^2_d \overline{m^2_n}}{\frac{1}{3}K^2_D W^2 \left(\frac{P_T}{N_0 W}\right)^{-1}}\\
&= 3D^2\overline{m^2_n}\frac{P_T}{N_0 W}
\end{align*}
$$
可以知道D的提升，會提高訊雜比SNR，因此立體聲雖然占用比較多頻寬，但抗雜訊的能力是比單聲道還好的。

### 計算結果與spectrum作圖
由上述的觀念計算得
$$
x_b(t) = \underbrace{[l(t) + r(t)]}_{\text{For monophonic reception} } + [l(t) - r(t)]\cos(4\pi f_p t) + \underbrace{\cos(2\pi f_p t)}_{\text{For coherent detection}}
$$
<br>
並對上式$x_b(t)$做Fourier transform得spectrum，繪製如上圖的spectrum，其中$l(t) - r(t)$會是有兩邊，因為根據尤拉公式$\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} +e^{-j\theta}}{2}$，畫spectrum時要拆做兩根才構成一實數。

### FM調變
FM是與frequency deviation與輸入訊號成正比，也就是把$m(t)$的訊息塞入載波的$\frac{d\phi(t)}{dt}$之中傳送，因此根據FM定義，可以確定調變後的$x_c(t)$為
$$
\begin{align*}
\frac{d\phi(t)}{dt} &= k_f \cdot m(t)\\
&= 2\pi f_d \cdot m(t)\\
x_c(t) &= A_c \cdot \cos\left(\omega_c t + 2\pi f_d \cdot \int^t_{-\infty}m(t)dt\right)\\
&= A_c \cdot \cos\left(\omega_c t + 2\pi f_d \cdot \int^t_{-\infty} [ [l(t') + r(t')] + [l(t') - r(t')]\cos(4\pi f_p t') + \cos(2\pi f_p t')]dt' \right)
\end{align*}
$$
上式為了避免有兩個相同的$t$會混淆，所以我改對$t'$積分，因此$t'$為dummy variable。

## 傳送端(TX)
### FM解調
假設經過的通道沒有任何雜訊干擾，因此RX訊號等於TX訊號$x_c(t) = x_r(t)$，接下來經過一個FM ideal discriminator，直接去抓取phase deviation$\phi(t)$去解調。
$$
\begin{align*}
x_r(t) &= A_c\cos(\omega_c t + \phi(t))\\
\Rightarrow y_D &\triangleq \frac{1}{2\pi} \cdot K_D \frac{d\phi(t)}{dt}\\
&= K_D f_d \cdot m(t)
\end{align*}
$$
將上述定義帶入我們的系統，計算為
$$
\begin{align*}
x_b'(t) &= \frac{K_D}{2\pi} \cdot \frac{d\phi(t)}{dt}\\
&= \frac{K_D}{2\pi} \cdot \frac{d}{dt} \left( 2\pi f_d \cdot \int^t_{-\infty} [ [l(t') + r(t')] + [l(t') - r(t')]\cos(4\pi f_p t') + \cos(2\pi f_p t')]dt' \right)\\
&= \underbrace{[l(t) + r(t)]}_{\text{For monophonic reception} } + [l(t) - r(t)]\cos(4\pi f_p t) + \underbrace{\cos(2\pi f_p t)}_{\text{For coherent detection}}\\
&= x_b(t)
\end{align*}
$$
### 解調左右聲道
$x_b(t)$經過一個`bandpass pilot-tone filter`，這是一個narrowband的filter，中心頻率是$19 \rm{kHz}$，因此只取出`pilot tone`下的頻率(DC bias)，再乘上一個`frequency multiplier`(乘法器+BPF)，把$19 \rm{kHz}$訊號變成$19 \cdot 2 = 38 \rm{kHz}$，雖然此系統沒有畫，但感覺還需要一個BPF，過濾掉$[l(t) + r(t)]$與$\cos(2\pi f_p t)$，再與原先的$\cos(2 \cdot 2\pi f_p t)$相乘得
$$
\begin{align*}
r'(t) &= [l(t) - r(t)]\cos(4\pi f_p t) \cdot \cos(2 \cdot 2\pi f_p t)\\
&= [l(t) - r(t)]\frac{1 + \cos(8\pi f_p t)}{2}\\
&\overset{\mathrm{LPF}}= \frac{1}{2}[l(t) - r(t)]
\end{align*}
$$
因此右聲道解調成功。而左聲道，只需要將原本的$x_b(t)$做一個LPF即可得到$l(t) + r(t)$，如前面所述因為單聲道是左聲道加上右聲道，一定要產生單聲道可以聽到的聲音，如此設計即可達成向下相容。

## 本堂課對應的概念
- 傳送端$l(t) - r(t)$乘上$\cos(4\pi f_p t)$用到DSB-SC(double sideband suppressed carrier)技術，兩者都是要增加傳輸的中心頻率，差別是DSB-SC一般是要將訊號從低頻轉為高頻訊號，快速震動，這樣接收天線才能做小；而本系統是要讓$l(t) - r(t)$的頻率升高，與原本在$15 \rm{kHz}$的$l(t) + r(t)$作區別。
- 傳送端的$x_b(t)$除了送左聲道與右聲道的資訊之外，還包含DC bias的$\cos(2\pi f_p t)$，這個頻率即為`pilot tone`，是為了方便之後接收端做載波的phase同步用，這個觀念即是把DSB-SC做改良，由於DSB-SC是suppress carrier，沒有載波的資訊，因此接收端的oscillator會與傳送端的oscillator產生相位差$\theta(t)$，需要PLL(phase-locked loop)電路同步向位，但PLL設計困難、成本很高，而有了AM(amplitude modulation)技術的改良，傳送時加入DC bias $x_c(t) = [m(t) + K]A_c\cos(\omega_t)$，就可以大幅簡化接收端解調的電路，基本流程是從接收端訊號取出載波成分，再與接收端訊號相乘，通過一個LPF，此流程與本系統類似。
- 傳送與接收訊號使用的是FM調變，這是一個把輸入訊號夾入載波的frequency deviation $\frac{d\phi(t)}{dt}$進行傳輸的技術。雖然本系統是使用FM ideal discriminator去解調，直接抓取$X(r) = A_c\cos(\omega_c t + \phi(t))$的$\phi$，再做微分得$m(t)$ (當$m(t)$乘上一個正的常數代表解調成功)，但實際上很難這樣做，因此實際上的discriminator我們會先把接收訊號
- 做微分 $\frac{dx_r(t)}{dt} = -A_c(\omega_c + \frac{d\phi(t)}{dt}) \cdot \sin(\omega_c t + \phi(t))$
- 乘以$-1$，去掉負號 $e(t) = A_c(\omega_c + \frac{d\phi(t)}{dt}) \cdot \sin(\omega_c t + \phi(t))$
- Envelope detector $A_c(\omega_c + \frac{d\phi(t)}{dt})$
- DC removal $y_D(t) = A_c(\frac{d\phi(t)}{dt}) = A_c 2\pi f_d \cdot m(t)$
- 本系統所有參數都是deterministic，但實際上很多東西都是random，包括
- 接收端不能預期說話者的輸入訊號$m(t)$
- pilot tone signal generator會有相位差，一般用均勻分布去model，$\Theta \sim \mu(0, 2\pi)$。
- 通道並非完全沒有雜訊，這邊可以用AWGN channel等，找出最符合真實試驗的數學模型去model。

## 心得
這次作業算是對前半的通訊原理的課程做一個總結，也藉此機會複習之前期中考的內容，由於我是在讀完後半課程才開始寫作業的，對於隨機程序和SNR有一點粗淺的概念，所以也另外加上對於deviation ratio D對SNR的影響，這邊也是教授之前提到的 - FM是藉由增加transfer bandwidth去提高他的SNR。從這個系統也可以看出有很多設計上的巧思，像是利用DSB-SC技術提高$l(t) - r(t)$的頻率，可與$l(t) + r(t)$作區別，以及設計在$f_p=19 \rm{kHz}$的pilot tone，完美地隔開左右聲道的頻譜，並提供DC bias給RX的電路解調用.......這些種種功能是令我驚豔的，沒想到有人能設計出這麼功能強大的架構，又完美解決一些惱人的痛點。

這學期是我第一次修通訊的相關課程，粗略地認識通訊領域所探討的問題，包括前半段的在沒有雜訊的狀況下，討論訊號的mod與demod；後半段加上隨機程序與統計的觀念，又再回去探討以前的調變問題，計算一些衡量的參數SNR，讓model更符合真實情況。下學期我可能會修訊號與系統，把這些通訊的基礎知識補足，我也需要練習大量的題目，熟悉各項數學運算，因為從本質上看，通訊就是一門數學課。

## 參考資料
- 教授的上課講義
- Principles of communication systems, Roger E Ziemer, 7 editon P250 - P251
- [交大OCW 陳伯寧通訊原理一 48:00](https://www.youtube.com/watch?v=uSP4Fjha-Hs&list=PLj6E8qlqmkFsjemJ-MTVrktfJK4nv5ka_&index=14)