2022上寒假日記

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最後更新時間 : 2023/04/02

目錄

日期	概述
01/17(一)	單晶片專題的期末報告書
01/18(二)	回台南看各科期末考考卷
01/19(三)	修改單晶片專題的期末報告書格式
01/20(四)	三下一階選課
01/21(五)	21歲生日、通原、電子學期成績公布
01/22(六)	玩原神冒險去璃月港
01/23(日)	玩原神去雪山
01/24(一)	玩原神拯救風魔龍
01/25(二)	三下二階選課
01/26(三)	玩原神抽籤、解璃月
01/27(四)	媽媽、阿姨回潮州
01/28(五)	訊號系統的複習微積分基本定理
01/29(六)	讀書效率低落
01/30(日)	訊號系統的複習step與impulse function
01/31(一)	去東港佳珍吃年夜飯
02/01(二)	訊號系統的Fourier Series
02/02(三)	2022屏東燈會縣民公園燈區
02/03(四)	訊號系統的Fourier Series的頻譜圖推導與繪製
02/04(五)	訊號系統的Fourier Transform的推導與性質
02/05(六)	2022屏東燈會萬年溪燈區
02/06(日)	訊號系統的在LTI系統中，輸出為輸入與impulse response的convolution
02/07(一)	訊號系統的在時域上視覺化convolution的物理意義
02/08(二)	玩原神準備送仙典儀式
02/09(三)	回成大宿舍
02/10(四)	看電影續命之徒
02/11(五)	訊號系統的Laplace Transform
02/12(六)	訊號系統的微分方程與incrementally LTI system
02/13(日)	訊號系統的Blot plot, filter
2022上寒假總結	體驗原神遊戲、訊號系統的Fourier Series與頻譜圖、在LTI系統中，輸出為輸入與impulse response的convolution

01/17(一)

進度

• 單晶片專題的期末報告書

心得

嚴格來講這學期我還沒結束，還有報告有打、期末考成績要看。今天大致完成單晶片專題的期末報告書，包括

• 修改或重畫之前報告的一些圖，像是車上模組示意圖
• 完成原理說明中"ESP32與各個模組之間的通訊"
• 截影片的圖完成功能描述的"正常流程"與"異常處理"

01/18(二)

進度

• 回台南上電子三的課
• 看各科期末考考卷

心得

今天早上原本設鬧鐘8點50分要起來，搭9點半的火車回台南，但我都習慣性賴床，想先花10分鐘解決生理需求，今天也不例外，拖到最後一刻才出門，算好剛好的時間到火車站，但我搞錯月台了，上到區間車，等到回過神就錯過班次，不過這也不是什麼大問題，補票搭下一班次的火車即可。

剛到台南吃個午餐，去系館電腦教室，發現我那些朋友都在那裡，他們有人要去中山修體育課，因為都是台綜大系統，選課系統可以互通有無。我跑去奇美樓問助教之前電子三作業一的內容，這次作業分數我真的慘不如賭，由於

${\mathrm{V}}_{\mathrm{o}\mathrm{v}},\mathrm{P}\mathrm{M}$沒過，只有拿一半的分數，成績排名墊底，實在是很不優，接下來是去看電儀表學成績，還好助教沒改很嚴，平均74，我成績81。

下午上電子三補充了一些觀念，教授覺得這很基本但大家好像都不知道，我是不知道其他人懂不懂，但我到現在才弄懂這個基本觀念。

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• transfer function與s-plane關係
  

  $H(s)$常用極座標表示為
  $H(s)=|H(s)|e^{j\varphi (s)}\text{for any value of }s=\sigma +j\omega$
  $$\begin{array}{rl}\text{magnitude }|H(s)|& =\sqrt{\mathrm{\Re }\{H(s){\}}^2+\mathrm{\Im }\{H(s){\}}^2}\\ \text{angle }\mathrm{\angle }H(s)& ={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{\Im }\{H(s)\}}{\mathrm{\Re }\{H(s)\}}\right)\end{array}$$
  
  因此如上圖，
  $|H(s)|$即為求出s-plane上所有zero到s的距離相乘再除以所有pole到s的距離相乘；而
  $\mathrm{\angle }H(s)$為所有zero到s的向量與實數軸的夾角減去所有pole到s的向量與實數軸的夾角。

• pole zero與bode plot(freq. response)關係
  取代s為

  $s=j\omega$，也就是說在縱軸
  $\omega$上移動點，去算出不同頻率的訊號對於系統會有怎樣的輸出響應。
  
  因此如上圖，從頻率
  $\omega =0$，也就是從DC bias出發，縱軸頻率
  $\omega$不斷增加，使得pole到
  $s=j\omega$距離q不斷增加，因此大小
  $|H(s)|=\frac{K}{q}$會下降；而
  $\mathrm{\angle }H(s)$會不斷增加，直到
  $s=j\omega$到無窮遠處，pole到
  $s=j\omega$的向量與實數軸的夾角
  $\theta \simeq {90}^{\circ }$，這也是為什麼會說一個pole會貢獻90度相位下降的原因。

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最後電子三發考卷平均不知道多少，我成績91，算是還可以，不過我之前電子二段和作業成績太爛，學期成績可能也會很普通，加上教授說大家學期成績平均81，分數太高，所以為了要求同一堂科目各班級之間的公平性，會比照甲班學期成績進行加分與扣分，而甲班可能是考試難度較高和範圍較多，平均成績沒有很高，所以之後我們乙班可能會調降學期分數。

最後看通訊原理成績，只有拿到跟平均一樣的58而已，實在很可惜的是第一小題算image frequency

$f_{im}=f_{input}\pm 2f_{output}$，最後我算成另一邊的

$f_{input}$；第二題我帶STFM的公式

$\beta =\frac{f_{d}A}{f_m}$與直接由原始定義算出來的

$\beta$卻不同，這部分助教也覺得題目有問題，要再詢問教授。

01/19(三)

進度

• 修改單晶片專題的期末報告書格式

心得

通訊原理助教回信說是他們搞錯題意了，不過他這麼解釋，我這邊沒題目，根本不知道他在講什麼；平顯學期成績出來我84，排名31/73，比期末考成績的排名倒退11名，我三次實驗報告都有認真做，所以可能是我兩次作業分數太低吧，只有七十幾分，對比我那些同組的組員都拿到快90分，我這樣作業成績可能是墊底的吧。

承01/17(一)，今天早上我重畫了單晶片專題報告的後端技術架構圖，之後就不小心睡掉整個下午，晚上助教說我這組交的報告有不符合規定的地方，還規定要交docx原檔，我只能一段一段文字人工轉換成docx格式。word需要掌握的知識點有多層次清單、論文標題設定的使用，由於功能很多，我會歸類word為排版工具，而非文字編輯器，加上word對於數學式編排與程式語法高亮的不友善，實在是很難使人專注於寫作本身，而去處理對實質內容意義不大的文字排版，這是我非常不喜歡的，不過助教的規定就是規定，我只能乖乖花了一整個晚上排版，交出報告文檔。

之後創個reopo，push我們打的糞code，留點紀錄，要不然不這麼做常常都會忘了自己以前在做什麼事，這邊有個很好用的工具是GitGuardian，他可以自動掃描程式中私有訊息的洩漏，並告知使用者，我也因此收到他的通知，刪了程式一些資料庫、WIFI的密碼，重新git init一次。

至此這學期才會是正式結束，完成單晶片報告與期末成績查看。

01/20(四)

進度

• 三下一階選課

心得

今天都在研究下學期的課程，今年三下張志文沒開數位通訊，詢問後的結果是由新進教師陳榮杰教，可能會在三階選課時出現，目前擬定課表為

• 系上的專業科目

學科	學分	類別	選課狀態
訊號與系統	3	選修	已選李國君
VLSI電路設計	3	選修	已選
量子物理	3	選修	已選
專題(一)	2	選修	已選
工程數學(二)	3	必修	二階要搶乙班
通訊實驗	1	6選3實驗	二階要搶
數位通訊	3	選修	等三階課程出現

網際網路程式設計是web dev，跟VLSI電路設計同屬loading非常重的課，由於沒有衝堂，先選下來，之後2/25前在棄選。

現場可規劃邏輯電路設計(FPGA)，明年再修，但可以二階先選，視之後上課情況決定。

量子物理不知道是不是分數很甜，一階選可課就爆滿，先選下來再說。

• 通識

學科	學分	類別	選課狀態
日文(六)	2	二外	已選張巧螓
光電科技	2	通識	已選甜課

抽一堂通識、二階搶0學分的軍訓。

01/21(五)

進度

• 換鏡片
• 通原、電子學期成績公布
• 21歲生日

心得

今天是我21歲生日，不過我也沒什麼過生日；今天也是108課綱學測的第一天，數A聽說很難，不過這樣也好，不然前段的學生每個都滿分，沒什麼鑑別能力。

由於鏡片外層電鍍層脫落，早上去換鏡片，詢問了寶島和小林兩家店，得到的報價是差不多的，有台灣做的2千多的鏡片、和國外光學大廠(Zeiss, Nikon)做的3千多鏡片。經眼鏡行測量後，發現我近視度數沒有加深，可能也是因為發育期過了，眼球發育已定型。

項目	近視度數	散光
右眼	575	50
左眼	425	0

最後選擇小林眼鏡的非球面、不打薄、抗藍光波段鏡片，價格殺在2000元整，下禮拜三去拿鏡片。

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繼01/19(三)公布平顯學期成績，通原和電子也公布了，看了成績，連平均都沒有，我還是乖乖去蹲補習班好了。

• 電子三

項目	HW1(10%)	一段(30%)	二段(30%)	三段(30%)	學期成績
成績	48	74	68	91	75
平均	82	73	87	83	81

• 通訊原理

項目	期中考	HW1	HW2	期末考	HW3	HW4	學期成績
成績	57	83	98	58	84	95	66
平均	67	86	94	73	85	86	未知

• 通訊原理級距
  
  

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現在就只剩電儀表學和單晶片的成績還沒公佈了，這學期修了單晶片的實作課好玩是好玩，但在一段期間燒掉大量時間；在二段期間，電磁一也是幾乎佔掉整個禮拜，尤其計算lagrange equation的PDE求解，但最後二段一樣爆炸，最後退了必修電磁一，又再退控制工程。

電子三的HW1為做2階OPAMP的參數調整，花了2天的時間條參數，最後還是沒有達標；二段的考試我準備方向有誤，應該要看熟教授的講義為主，所以我要三段上考試準備上修正，但還是救不了我的爛成績。

從今年開始系主任有要求教授考試要有區別性，不要人人都一百分，包括聽到的消息是離散、電路、機率每科考試跟作業都明顯增加。而通訊原理其他學校可能很難，但往年來說以自己系上的級距和學長的心得看是甜課，但今年通訊原理考試難度增加，所以退選50幾個人，包括我那15%和30%的同學。當初看我期中考在平均57分，我就很滿意了，現在低分群退選到我變成真的低分群，現在看期中考平均拉高10分到67分，但通訊原理對厲害的人一樣可以考很高，前段的分數一樣很高，所以整體來說沒有調分，只有調低於60分的人到60分而已。

這學期我退了兩個很硬的必修，但成績還是在平均以下，所以最好的選擇應該是延畢一年，把成績維持在一定水平，然後後年考研究所吧。

難道還有什麼辦法呢?我想是沒有了。反正就按部就班乖乖把這些大學的基本科目好好讀，走一步算一步，每個人能力本來就不一樣，如去年暑假2021下暑假日記 8/15，那時我才剛了解C/C++的memory layout，而我每次都會問的那位同學已經在研究linux kernel了，如果最後發現自己的能力只能做勞力、工時導向的工作，那就任命吧。

01/22(六)

進度

• 玩原神冒險去璃月港

心得

前幾天在看量子計算機的科普影片 - 科技袁人、量子的糾纏態與疊加態、玻色采樣，有些刻板的觀念我需要修正

• 不只是一般的電學，很多物理體系都可以製作計算機，電子管、晶體管、光學等。經典計算機是用電學；九章就是用光學。
• 量子計算機只是對特定問題有優勢，而不是對所有問題有優勢，因此應該探討的是這個量子計算機"是處理什麼問題"，而這問題最好是人類感興趣的、有經濟價值才比較重要，像是破解RSA加密。
• 積和式計算時複雜度太大，因此改用採樣的方式，使用玻色取樣實驗，機率的分布正比於積合式的模方。
• 上述的技巧可以類推蒲豐投針，由於PDF為平均機率，只需要計算相交的針即精算出圓周率大小，
  $P=\frac{{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}b\sin \alpha d\alpha }{\frac{1}{2}a\pi }=\frac{2b}{a\pi }$，蠻有趣的實驗。

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今天忍不住又載回原神，講述了風魔龍的故事，過去他曾經是蒙德城的守護神，但如今飽受詛咒所腐蝕，如今我們要去拯救風魔龍。今天學會了飛行，從高處一躍而下風行的感覺很輕爽，也往地圖下方跑，避開那些等級高的怪獸，最後是跑到璃月港。

璃月地區真的很美，尤其是依樹而建的望舒客棧與靠海的璃月港，很有中華傳統的氣息，搭配這首璃月主題曲，那種探索新地圖的新奇感，真的讓我很喜歡。

01/23(日)

進度

• 玩原神去雪山

心得

今天繼續耍廢玩原神，開啟多人模式，有網路上的好心人幫我，上雪山開七天神像，要不然我角色的等級太低，只會被怪物虐。劇情破到去幫助從璃月來的香菱打贏廚師比賽，最後我跑去輕策莊採集絕雲辣椒，看到日落的雲彩，很美。

01/24(一)

進度

• 玩原神拯救風魔龍

心得

今天玩原神去拯救風魔龍，算是蒙德章節的BOSS，第一是解開三層被束縛的屏障；第二是飛在風魔龍後面打掉風魔龍第一層傷口；第三是平面式戰鬥打掉風魔龍第二層傷口，溫蒂，也就是風神巴巴托斯講述了他的價值觀 - 正因為蒙德是自由的，所以從今以後風魔龍是否要繼續保護蒙德或是卸下這個職責也是風魔龍的自由，這邊我想吐槽的是他的自由等同於不負責任，自由應該是要建立在被約束下的前提的，不過隨著原神的故事鋪成和優美的音樂，算是有被他那一套的世界觀所說服。

01/25(二)

進度

• 三下二階選課
• 學期成績全數出爐

心得

承01/20(四)三下一階選課，目前該二階該選的課，大致擬定，但還有很多變數

• 必要專業科目為工程數學(二)、訊號與系統、VLSI電路設計、通訊實驗、專題(一)。
• 其次專業科目是數位通訊、量子物理、數位電源控制電路與系統實作專題。
• 視之後二階的抽籤與加簽運氣，通識盡量增加，其次專業科目盡量減少，或許可以等到4下再修。
• 數位通訊時段未公布、新老師不知道授課狀況只能等三階選課與開學後的第一周決定。

畢業學分中通識缺12.5學分、實驗6選3缺1學分、專業選修缺21學分，平均一學期要修通識4學分與專業選修7學分。

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每科的學期成績也出來的，這個成績跟二下比，還是一樣慘，平均79，而且這學期我修的學分還比較少。如果可以重來的話，我希望通識能修多一點，不然這學期退了2堂系上必修，根本都沒修到通識。

01/26(三)

進度

• 玩原神遇帝君遇害
• 弄刻晴的巴哈進版圖

心得

跑璃月主線任務，參加七星請仙典儀，但卻遇到帝君卻被刺殺，之後走投無路，只能去與愚人眾的公子合作，去將事情跟各路仙人報告，以免真相受到璃月七星扭曲。之後20抽卡，沒有抽到甘雨或任何五星卡，我就刪遊戲了。

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今天嘗試弄了個原神璃月七星的刻晴的巴哈場外進版圖，圖片使用【原神】刻晴+優菈。

選這張圖的原因是因為刻晴長直的劍身與目光注視方向很適合放上特別需要凸顯的文字，首先是裁切成1250*375像素的圖片大小，裁切後比例剛好，因此不再做縮放，再來由於原圖的劍身還是略短，我稍作延長，以容下"場外休憩區"五字。我很喜歡"原神"字體，一開始是想去模仿這種字體 - 文字的十字交接是星形的，或許能呈現刀刃銳利而閃閃發光的感覺；而原下面的筆劃又有種風的感覺，或許能呈現刀快速移動的動態感，不過我能力有限，最後想法還是作廢，字體選用文鼎毛楷，加上陰影，更具立體與尖銳感。

字體原本是紫色的，但受到刀身的白光，而被渲染成白色，因此我選用顏色漸層的效果。最後再寫信詢問原作者圖片授權，告知該圖使用地方、是否商用/營利、加工程度(裁減像素大小、刀身拉長)。

01/27(四)

進度

• 媽媽、阿姨回潮州

心得

今天媽媽和阿姨回潮州了，阿姨拿了一個包包和一堆衣服吊飾給我們看，阿姨之前去汐止做工時，那戶人家的阿嬤就給他很多東西，因為阿嬤說她媳婦很愛亂買一堆東西，她的包包和行李箱就有10幾個，東西太多想丟掉，阿姨就找一些好看的留下，不過從目前看到吊飾和包包看，很像是大陸的高仿真商品，感覺她家也不是很有錢。

01/28(五)

進度

• 訊號系統的複習微積分基本定理與萊布尼茲積分法則

心得

今天找訊號與系統的參考書，想拿來刷題目練習，不過網路上找不到相關的書籍。另外在45個免費的大學課本下載網站中的老牌網站zlibrary找書，找到Simon Haykin第二版的書籍與解答，之後開學就用這個刷題目練習，書籍下載下來後，使用Acrobat的掃瞄與OCR功能，把原始圖片轉換為可搜尋的文字，方便日後查詢關鍵字。

看交大OCW 陳永平 訊號與系統搭配陳永平補充教材網站，複習並專注於這門課會用到的微積分。

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處理一個系統有4個步驟

1. 數學建模
2. 分析與設計controller
3. 軟體模擬(MATLAB)
4. 具體實現

數學建模中需要找出輸入與輸出的關係式，通常是與時間有關，而我們探討的方向為time-dependent中的time-invariant，也就是說輸入與輸出關係式不隨時間變化。

令

$g(t)={\int }_a^{t}f(\tau )d\tau$，我們會稱

$g(t)$為

$f(t)$的running integral，

$\tau$為dummy variable，在積分後不會存在，會被上下限取代，而需要注意running integral做積分後，是一個與現在的時刻

$t$有關的函數

$g(t)$，而非定值。

• 複習微積分基本定理(一)，使用微分原始定義與夾擊定理證明
  $\frac{dg(t)}{dt}=\frac{d}{dt}{\int }_a^{t}f(\tau )d\tau =f(t)$
• 複習萊布尼茲積分法則，令
  ${\int }_{h(t)}^{g(t)}f(t,\tau )d\tau$為一三變數
  $g,h,t$函數證明
  ${\int }_{h(t)}^{g(t)}f(t,\tau )d\tau =f(t,g(t))\cdot g^{\prime }(t)-f(t,h(t))\cdot h^{\prime }(t)+{\int }_{h(t)}^{g(t)}\frac{\partial }{\partial t}f(t,\tau )d\tau$，但這邊訊號與系統探討的只有上限是變數
  $t$，下限都是初始常數值
  $a$，因此
  $\frac{dg(t)}{dt}=f(t,t)+{\int }_a^t\frac{\partial }{\partial t}f(t,\tau )d\tau$。

01/29(六)

進度

• 流鼻涕過敏讀書效率低落

心得

最近的讀書效率低落，平均一天只有看30分鐘的教學影片而已，來到潮州新家後，可能是環境太多過敏原或是天氣忽冷忽熱，我的過敏又有點發作，一直會流很多鼻涕，但這鼻涕擤出來是透明的，也就是說是白血球誤判導致，實際上根本沒有感冒，尤其是到晚上時，鼻涕倒流，導致白天時都會感覺喉嚨癢癢的，會想咳嗽…這些種種事情讓我很難專心於一件事情或是整天昏睡。解決方法是多運動、清理房間、多喝白開水、少吃冰的東西，希望能有所改善。

01/30(日)

進度

• 訊號系統的複習step與impulse function

心得

讀書速度應該要加快，前面講的觀念都是複習。由

$2^t=e^{at}\Rightarrow \ln 2^t=at\Rightarrow a=\ln 2$，可知任何的exponential function都可以表示為natural exponential function，因此

$\frac{d{2}^t}{dt}=\ln 2e^{(\ln 2)t}=\ln 2(2^t)$。指數做微分後，還是維持指數，因此模態(mode)不變，就跟eigenvector很像，在向量做矩陣運算後，

$A\upsilon =\lambda \upsilon$方向依舊不變、只有大小改變。

如Difference Between Dirac delta and unit impulse function補充與上課內容，unit impulse由連續空間的Dirac delta distribution

$\delta (\tau )$或是離散空間的Kronecker delta

$\delta [k]$表示，在連續空間下表示為

$$f(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$ 其中

$\delta (t-\tau )$就如同一個scanner，由於

$t$是變數，會沿著y軸把所有

$f(t)$都掃描一遍。

01/31(一)

進度

• 去東港佳珍吃年夜飯
• 去玩潮好玩幸福村遊樂設施

心得

今天是農曆12月29日，是農曆中一年的最後一天，跟去年一樣是去東港佳珍吃年夜飯，點了10人份的菜，由於今年物價通膨，因此多加上一成服務費，總共7480元，另外不一樣的是哥哥考上高考，已經開始工作的，這頓飯是哥哥請客的。

服務生出菜的速度太快，大家有點像是趕著吃飯一樣，有道菜還不錯的是用荷葉包起來的豬肋排，豬肋排調味得很好，口味稍重一點，吃完飯後，各個小家庭講一下今年發生的里程碑，這樣敬一杯，像是哥哥說今年他開始工作這頓飯他請客大家笑得很開心，拿起塑膠杯敬一個。

之後去潮好玩幸福村消化肚子運動，那裡有很多遊樂設施，主要是小阿姨的兩個小孩子想去玩，可能我是在都市長大，都市的遊樂設施區域很小，一方面可能是安全起見，另一方面可能是可以使用的腹地太小，不知道鄉下的遊樂設施這麼好玩 - 那個溜滑梯足足有五公尺高，從上面滑下來很刺激；還有個雙塔高的攀爬網，我爬到一半時，可能是我媽也在爬的原因，那個繩索一直在晃，也很刺激，之後爬到頂端可以俯瞰整個遊樂設施的全景。

晚上到新家發紅包，哥哥今年還要包給大家紅包，阿公難得笑得很開心，之後是表演才藝時間 - 小阿姨的小兒子表演讀童詩、小阿姨的大女兒表演吹直笛、哥哥表演拉二胡，至於我今年一樣沒什麼才藝可以表演，應該說才藝表演這件事情是小時候沒有課業壓力在學的，長大後實在沒什麼閒暇的時間可以學。

壓歲錢差不多有8千多元，跟之前三倍券和五倍券一樣都給爸媽處理，以前我可能會喜歡數錢並存到銀行裡，但現在慢慢覺得這就只是個過個喜氣，真的需要用到錢，像是日檢、學測、指考的報名費，我媽也都會給我錢，而從大一外宿開始，我生活費沒有固定限額，錢不夠我跟爸媽要即可，反正這錢也不是我賺的，就算壓歲錢拿到多少也沒有實質上的意義。

02/01(二)

進度

• 仿造wordle翻字卡動畫的巴哈進版圖
• 訊號系統的Fourier Series

心得

最近流行一個猜字遊戲wordle，遊戲規則是玩家必須在6次的嘗試中找到隱藏的英文詞彙，就像以前猜數字的排列組合那樣，針對猜對的數字及位置，給予玩家幾A幾B的線索繼續猜下去。

自己也嘗試仿造翻字卡答案的動畫，製作流程依序為

1. 把個別字體與方框物件的Anchor point置中，也就是把縮放的軸心設為中心。
2. 用Pick Whip鏈接字體與方框物件，會在expression窗格自動生成一段JavaScript的代碼thisComp.layer("1").transform.position，如此只需要操作其中一個圖層即可連動兩圖層。
3. 為了呈現打字時的動態回饋，做等比例縮放。
4. 翻開字卡效果為限定上下scale縮放，等scale到0時，到Rectangle.Fill.Color打key frame從顏色#FFFFFF變到#0B7897。

場外進版圖招募 #765樓

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在微積分中講到泰勒級數展開，就是找出一個多項式

$p(x)$在

$x=a$的附近近可能逼近要代表的函數

$f(x)$，基本想法就是找出任意階倒數(切線斜率)都相同

$f^{(k)}(a)=p^{(k)}(a)$，因此無窮可微分的函數可表示為

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n\text{where }{a}_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$ 在其收斂半徑之內都可以得到與要代表的函數

$f(x)$均勻收斂。

而今天所探討為一週期為

$2\pi$的週期函數，是否能用

$\sin ,\cos$去代表此函數，答案是可以用Fourier Series級數展開。

$$f(t)=A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\cos \frac{2\pi kt}{T}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\sin \frac{2\pi kt}{T}$$

• 其中頻率
  $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$，
  ${\omega }_1=2\pi f$為fundamental frequency，依序2倍頻率
  ${\omega }_2=2\pi (2f)$，可知頻率是有倍數關係。
• 其中第一個係數
  $A_0$透過
  ${\int }_T{f}_T(t)dt=\cdots =A_{0}T$(代表的是平均值)，求得
  $A_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)dt$。
• 其中第二個係數
  $A_k$透過
  $$\begin{array}{rl}& {\int }_T{f}_T(t)\cos \frac{2\pi m}{T}dt\\ =& {\int }_T{A}_0\cos \frac{2\pi m}{T}dt+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{\int }_T\cos \frac{2\pi kt}{T}\cos \frac{2\pi m}{T}dt+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k{\int }_T\sin \frac{2\pi kt}{T}\cos \frac{2\pi m}{T}dt\\ =& 0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k[\frac{1}{2}{\int }_T\cos \frac{2\pi (k+m)t}{T}dt+\frac{1}{2}{\int }_T\cos \frac{2\pi (k-m)t}{T}dt]\\ & +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k[\frac{1}{2}{\int }_T\sin \frac{2\pi (k+m)t}{T}dt+\frac{1}{2}{\int }_T\sin \frac{2\pi (k-m)t}{T}dt]\\ =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k[\frac{1}{2}{\int }_T\cos \frac{2\pi (k-m)t}{T}dt]\\ =& \{\begin{array}{ll}\frac{T}{2},& k=m\\ 0,& k\ne m\end{array}\\ =& {\int }_T\cos \frac{2\pi m}{T}\cos \frac{2\pi m}{T}dt\\ =& \frac{T}{2}{A}_m\\ \therefore & A_k=\frac{2}{T}{\int }_T{f}_T(t)\cos \frac{2\pi k}{T}dt\end{array}$$ 需要注意的是

1. 推導一開始乘以
   $\cos \frac{2\pi m}{T}$的目的是為了之後推導利用三角函數的正交性，消掉一些項。
2. $m$為一個1到無窮大範圍內的固定數；而
   $k$為一個1到無窮大的數列。

• 其中第三個係數
  $B_k$的求法，同理上述
  $A_k$的求法得結果
  $$B_k=\frac{2}{T}{\int }_T{f}_T(t)\sin \frac{2\pi k}{T}dt$$

---

• 連續函數相加應該是要維持它的封閉性，但傅立葉級數為無窮多的連續函數相加，可以表示不連續的函數。
• 傅立葉級數存在條件需要滿足Dirichlet conditions，現實中的訊號皆滿足此條件。
• 在有限區間內傅立葉級數表示不唯一，因此需要使
  $t$趨近無限大，才具備唯一性，就能apply Fourier transform做一對一的映射關係。

02/02(三)

進度

• 2022屏東燈會縣民公園燈區

心得

下午久違地去綠色隧道跑步，不然整天都待在電腦桌前，身體會出事。晚上和爸媽、大阿姨縣民公園燈區的屏東燈會，拿媽媽的三星A52 5G中階手機拍了幾張照片。

燈會是沿著這條殺蛇溪布置的，其中一溪邊的每個行道樹都有打上七彩的燈光，隨時間變化顏色，很有氣氛。

燈會主體配合園內工業遺址，呈現紙漿廠的轉型的歷史，上面作品名稱為時間螺旋，以螺旋象徵無限生命；作品使用材料為竹子，同甘蔗是禾本科植物，象徵過去糖廠轉型成製紙廠的歷史。

上面作品名稱為啟航，鳥的飛翔型態象徵糖廠轉型後的順遂。

我在看作品說明之前都會猜一下這個作品想要表達的內容，但都沒猜對，像是上面的"啟航"作品，一隻鳥就跟我說這是象徵糖廠轉型，實在沒辦法說服我，不過一般人好像也不太會注意這些點，畢竟醉翁之意不在酒，一般人只是出來散散心而已，看看燈光會七彩變化，拍拍照而已，實際作品想呈現的意義就沒有那麼重要。

從每顆樹都要布置燈光，到每件藝術作品各由每個藝術工作室設計，再到形象包裝與宣傳 - 作品攝影、架設並設計網頁、社群媒體小編，個個項目算下來都是錢，感覺是屏東縣政府砸錢外包給廠商去布置，這樣花下來估計有上千萬。

02/03(四)

進度

• 訊號系統的Fourier Series的頻譜圖推導與繪製
• 訊號系統的Parseval's theorem的物理意義

心得

由02/01(二)可知一週期函數可改用Fourier Series表示。

$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\cos \frac{2\pi kt}{T}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\sin \frac{2\pi kt}{T}\\ \text{where }{A}_0& =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)dt\\ A_k& =\frac{2}{T}{\int }_T{f}_T(t)\cos \frac{2\pi k}{T}dt\\ B_k& =\frac{2}{T}{\int }_T{f}_T(t)\sin \frac{2\pi k}{T}dt\end{array}$$ 為了簡化上式，令新變數

$c_k$

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{2}(A_k-j{B}_k)\\ & =\frac{1}{2}\frac{2}{T}{\int }_{T}f(t)(\cos k{\omega }_{0}t-j\sin k{\omega }_{0}t)dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\\ \because A_k& \text{ is even fct. and }{B}_k\text{ is odd fct.}\\ \therefore c_{-k}& =\frac{1}{2}(A_{-k}-j{B}_{-k})\\ & =\frac{1}{2}(A_k+j{B}_k)\end{array}$$ 因此Fourier Series可合併各項，簡化為

$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\cos \frac{2\pi kt}{T}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\sin \frac{2\pi kt}{T}\\ & =A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k[e^{jk{\omega }_{0}t}+e^{-jk{\omega }_{0}t}]+\frac{1}{2j}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k[e^{jk{\omega }_{0}t}-e^{-jk{\omega }_{0}t}]\\ & =A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(A_k-j{B}_k)e^{jk{\omega }_{0}t}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(A_k+j{B}_k)e^{-jk{\omega }_{0}t}\\ & =A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(A_k-j{B}_k)e^{jk{\omega }_{0}t}+\sum _{k=-1}^{-\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(A_{-k}+j{B}_{-k})e^{jk{\omega }_{0}t}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\text{where}{c}_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\end{array}$$

由於

$c_{-k}=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)e^{jk{\omega }_{0}t}dt=c_k^{\ast }$，因此長度

$|c_k|=|c_k^{\ast }|=|c_{-k}|$與角度

$e^{j\mathrm{\angle }{c}_k}=e^{-j\mathrm{\angle }{c}_k^{\ast }}=e^{-j\mathrm{\angle }{c}_{-k}}$，畫spectrum時，大小必為偶函數、角度必為奇函數；另外由於

$\omega =k{\omega }_0$，角度必為倍頻出現。

由此

$c_k$共軛的性質也可推得時域與頻域下的平均功率(Parseval's theorem)的關係為

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{T}{\int }_T{f}_T^2(t)dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_T{f}_T(t)\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}dt& & \because f_T(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(\frac{1}{T}{\int }_T{f}_T(t)e^{jk{\omega }_{0}t}dt)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{c}_k^{\ast }\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_k{|}^2\end{array}$$ 也就是說spectrum中的mag圖

$|c_k|$，每一根長度的平方皆代表訊號在此頻率下的power。

---

最後練習一個很經典的例題，會發現

$c_k$是一個

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}$函數，不過我搞不太懂畫phase的spectrum時，右邊訊號要畫正180度還是負180度，感覺兩者應該都可以，只要維持一邊正180度，另一邊負180度的奇函數性質即可。

02/04(五)

進度

• 訊號系統的從Fourier Series推導至Fourier Transform
• 訊號系統的Fourier Transform的性質

心得

Fourier Series可表示週期函數，並在無窮區間

$t\to \mathrm{\infty }$時，Fourier Serie級數展開才具備唯一性，那要怎麼表示非週期函數呢?可以令非週期函數的週期為無限大，如此就變成是一個週期為無限大的週期性函數，如此就符合Fourier Series的使用條件(Dirichlet conditions)，這便是Fourier Transform。

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\text{where}{c}_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\\ \text{Let }& T\to \mathrm{\infty },{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\cong \mathrm{\Delta }\omega \to 0,\text{and }k{\omega }_0=k\mathrm{\Delta }\omega \to \omega \\ f(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2\pi }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(\tau )e^{-jk{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jk{\omega }_{0}t}\\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau ]e^{j\omega t}\cdot \mathrm{\Delta }\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}\cdot \mathrm{\Delta }\omega \text{where}F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \text{where}F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \end{array}$$

結論要背熟，dummy variable可改為其他符號。

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\{f(t)\}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt=F(\omega )\\ {\mathcal{F}}^{-1}\{F(\omega )\}& =f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

• 例題為對一矩形函數進行Fourier Transform。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Arect}(\frac{t}{\tau })& =u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})\\ \mathcal{F}\{f(t)\}& =\cdots =A\tau \mathrm{sinc}(\frac{\omega \tau }{2})\end{array}$$

• Fourier Transform的物理意義

  $f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Re }\{F(\omega )e^{j\omega t}\}d\omega =\frac{1}{\pi }[A(\omega )\cos (\omega t)+B(\omega )\sin (\omega t)]$與Fourier Series最大的差別在於 - Fourier Transform所有的頻率皆有可能存在，是連續值；而Fourier Series為基頻
  ${\omega }_n=2\pi (nf)$的乘積，是離散值，其餘性質相似。

• 週期性訊號，週期可視為無限，因此可用Fourier Transform，總結所有訊號皆可用Fourier Transform。

• Fourier Transform的性質(以前已經讀過了，這次著重於他的物理意義)

名稱	公式	物理意義
superposition, linearity	$\mathcal{F}\{af(t)+bg(t)\}=aF(\omega )+bG(\omega )$	X
time-shifting	$\mathcal{F}\{f(t-t_0)\}=e^{-j\omega t_0}F(\omega )=abs[F(\omega )]e^{j(\mathrm{\angle }F(\omega )-\omega t_0)}$(可知mag不變、phase改變)	時域上訊號延遲，會在頻域上改變相位
frequency-shifting	$\mathcal{F}\{e^{j{\omega }_{0}t}f(t)\}=F(\omega -{\omega }_0)$	時域上乘上震盪器產生的 $\cos \theta$，會在頻域上移動頻率(modulation)
time compression and expansion	$\mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F(\frac{\omega }{a})$	如果a大於1，時域上訊號頻率變快；頻域上高頻的分量會增加
convolution	$$\begin{gathered} \mathcal{F}\{f(t)\ast g(t)\}=F(\omega )G(\omega ) \\ \mathcal{F}\{f(t)g(t)\}=\frac{1}{2\pi }F(\omega )\ast G(\omega ) \end{gathered}$$	處理兩訊號會用到1. 時域上convolution = 頻域上乘積、2. 時域上乘積 = 頻域上convolution
Parseval's theorem	如下	從時域或頻域看能量皆一樣，可畫出域與頻域的能量密度圖，曲線下兩 者面積相同

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)f^{\ast }(t)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|F(\omega ){|}^{2}d\omega$$

02/05(六)

進度

• 2022屏東燈會萬年溪燈區

心得

今天是農曆大年初六，下禮拜一就要上工了，明天爸媽哥也要回台北了，我很猶豫要不要回台北，從大二寒假之後快一年的時間沒有回台北了，都是待在潮州新家，新莊的家只有不到30坪，原本我高中時那間書房也變成哥哥在用，而原本哥哥那間房間現在堆滿爸爸的雜物，如果回去之後，要喬使用空間，也很麻煩，加上我也只剩一個禮拜就開學了，所以最後決定待在潮州，等到暑假媽媽買的另一棟預售屋蓋好，家裡變得空間比較大再回去，就跟寒假前一個禮拜的生活一樣，晚上去阿嬤家吃飯。

晚上去看了屏東燈會，這次是看不同燈區 - 萬年溪燈區，這次哥哥有來，上次大家忘記約哥哥，他就自己在家裡打遊戲，之後可能就發覺到家裡其他人都不見了，有點賭氣，所以這次哥哥才有來，我們一開始跑去看每半小時一次的水舞，之後走布滿LED燈的天橋。

值得一提的是利用LED製造的流星效果，首先排好一整列LED燈，藉由不同時間開關指定LED燈，達成跑馬燈的效果，而要調整LED的亮暗就是使用PWM調光技術，由於亮暗訊號交錯間隔很小，人眼會產生視覺暫留現象，因此藉由調整數位訊號中的duty cycle，可以模擬出LED亮暗程度的類比值，雖然這東西對於讀理工科的人可能覺得稀疏平常，但我每次看到這個LED的效果還是會很吃驚 - 完全騙過我的眼睛，如果我不了解原理的話，壓根兒就不會用這種思維去想LED流星效果的背後成因。

02/06(日)

進度

• 訊號系統的LTI系統與causal(因果)系統的模型定義
• 訊號系統的在LTI系統中，輸出為輸入與impulse response的convolution

心得

前面是講訊號的基本觀念，把訊號用Fourier Series/Fourier Transform用

$sin,cos$表示，方便起見再轉換為複數處理，從現在開始要探討系統。

系統是什麼?通常會觀察這個系統的行為，需要灌入一個輸入去觀察他的輸出，而用這些輸出代表這個系統的行為，因此此輸出可以代表一個系統，但要注意的是 - 不能代表全部，因為輸出只是受到某一種特定可觀測的刺激所產生的行為，有一天輸入值是過去從未觀測過的值，或許就會測到不一樣輸出，舉例來說今天去上學，我跟同學A講話(輸入)，同學A回應我(輸出)，對我來說我會用同學A的回應判斷它的人格特性(代表一個系統)，但只能代表同學A的片面資訊，實際上同學A對它自己家人的反應(輸出)可能又有所不同，這是我作為一個觀測者，不可觀察到的資訊。

LTI系統如其名，一是滿足線性，也就是符合superposition；二是time-invariant，在不同時間點去觀測，如果輸入相同，輸出也會相同，舉例來說電子學中的放大器非理想，會受到實際放大器飽和、非線性、DC bias等影響，我們必須讓放大器運作在工作區(調DC bias、input在input range之內等)，才會符合線性；電路在不同時間下環境的溫差變化等變因，敏感度(sensitivity)不大，才會符合time-invariant。

LTI系統常常用impulse response(impulse的output)做表示，令impulse response

$h(t)=H[\delta (t)]$，則在LTI系統中，一任意輸入訊號的輸出訊號(響應)為

$$\begin{array}{rl}y(t)& =H[u(t)]\\ & =H[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ]\\ & =H[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(t)\delta (t-\tau )d\tau ]& \text{只有在 }t=\tau \text{ 時才有值}\\ & =H[\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(k\mathrm{\Delta }\tau )\delta (t-k\mathrm{\Delta }\tau )\mathrm{\Delta }\tau ]& \text{進行黎曼和面積切割}\\ & =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(k\mathrm{\Delta }\tau )H[\delta (t-k\mathrm{\Delta }\tau )]\mathrm{\Delta }\tau & \text{想成是常數}{\alpha }_k\text{與時間無關，根據線性向外提出係數}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )H[\delta (t-\tau )]d\tau & \text{轉回黎曼積分}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau & \text{根據time-invariant}\\ & =u(t)\ast h(t)& \text{convolution滿足交換率}(=h(t)\ast u(t))\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau & \text{for 現實訊號 }u(t)=0,t<0\\ & ={\int }_0^{t}u(\tau )h(t-\tau )d\tau & \text{for causal systems}\end{array}$$ causal systems(因果系統)為對輸入的響應不可能在此輸入到達的時刻之前出現，假設上式

$y(t=3)$，即是在3秒時觀察該系統的輸入響應，如果

$\tau =4\Rightarrow h(-1)$，就不合理了，在0秒內輸入訊號，不可能在-1秒時量到輸出訊號，系統當下的輸出僅與當前與過去的輸入有關，而與將來的輸入無關。運行在real time必是causal system，但運行非real time未必是，像是影像處理並非causal system。

02/07(一)

進度

• 訊號系統的在時域上視覺化convolution的物理意義

心得

假設今天有一顆球高速衝撞另一顆靜止狀態的球，兩球碰撞時間很短，高速球帶給靜止球的力就是impulse的輸入，靜止球速度即為

$V(0^{-})=0\to V(0^{+})\ne 0$，靜止球獲得能量運動，之後隨著摩擦力漸漸變小，系統會趨於穩定，需要注意的是此時雖然沒有輸出值，但還是受到過去輸入的影響，也就是說具有記憶性，而這個影響會隨著時間慢慢變小，這便是convolution的物理意義，以下視覺化convolution過程。

---

感覺最近的讀書效率實在沒有很好，以今天為例，早上辦理提早入宿舍，下午幾乎都在睡覺，之後阿嬤來新家坐按摩椅，我起床讀一下書，就分心看絕命毒師的精彩片段，回過神來一小時就過了，晚上就稍微趕一下讀書進度，就這樣一天就過去了，我覺得要加緊讀書的進度了，不然開學後還有每周作業、考試的進度壓力，畢竟我現在讀的書就是為了能減輕開學後讀書進度預期會必定會落後的壓力，能趕快讀完觀念，之後才能多刷題目。

02/08(二)

進度

• 玩原神準備送仙典儀式

心得

昨天早上打原神和鍾離先生一同準備仙典儀式需要的材料，因為這樣做才有辦法看到岩王帝君的仙體，有一個很好笑的橋段是去不卜廬討材料時，遇到七七掌門，七七要旅行者幫個忙找椰羊，他想喝的椰奶是從椰羊獲取的，但到最後旅行者什麼東西都找不到，事後我查了攻略，發現椰羊就是秘書甘雨，實在是很好笑，官方埋的一個梗。

下午看breaking bad的精彩片段，當初追這部的時間是高二升高三暑假，原本只是要練道地的口說美語，到最後看到停不下來，很經典的橋段是Gus去設毒酒派對，對Cartel家族報仇 - 從選擇忠心耿耿的Jessie當助手、到廁所催吐毒酒而從容不迫、再到後續私人醫療反諷現代資本社會的醫療制度，各各片段現在看，那種對於我內心的刺激與衝擊依然存在。

02/09(三)

進度

• 回成大宿舍

心得

早上起來整理一下，就坐大阿姨的車回勝一宿舍了，我是提前兩天回宿舍，一天要繳150元，再加上我未於3天工作天前聲請要繳手續費250元，總計550，但比起外宿，這錢真的便宜不少，所以之後大四以及研究所我也會抽學校宿舍，因為實在太便宜了，可以替家裡省下很多錢。

這學期住宿需要提供快篩證明，學校也有提供免費的快篩試劑，快篩的第一步驟就是鑽鼻孔，一開始我實在不太敢鑽鼻孔，大阿姨開車載我到附近藥局幫忙，但藥師可能嫌麻煩不幫，我想說就不要鬧小孩子氣了，自己鑽一鑽了事，其實鑽鼻孔也沒我想像中的恐怖，藉由之後打噴嚏也幫我清了一些過敏體質的透明鼻涕，算是一種體驗吧。關於快篩原理，是利用連上膠體金(本次試劑是Ag)的抗原，透過色層分析，第一層T線(測試組)紅色時，代表單株抗體可以專一性辨別病毒抗原；第二層C線(對照組)紅色時，代表抗體是正常的，試劑是正常的。

下午大睡一覺，因為昨晚太晚睡，晚上起來之後就整理並安放所有行李。

02/10(四)

進度

• 看電影續命之徒

心得

今天看了續命之徒的電影，與其說它是電影，不如說是附屬在Breaking Bad最後的影集，交代完Jesse的結果。當初在看這部劇時，覺得Jesse真的是個trouble maker，做的很多事想法不夠周密，完全是意氣用事，沒有考慮後果，但後來漸漸覺得Jesse應該是所有人物中最有人性、單純的角色了，很多時候Jesse都是被Gus和Walter利用。這部電影是用倒敘交錯呈現，Jesse回憶起過去Breaking Bad影集的片段與這過去6個月他被虐待的經歷，尤其是瘦子(skinny)能在危及之刻義氣相挺幫助Jesse跑路，給Jesse他買的新車和Breaking Bad 5季中都戴這著的頭套，最後Jesse問skinny問甚麼要幫我這麼多，skinny說

Dude, you’re my hero and sh*t.

之後skinny就不回頭離去，似乎也是要遮掩臉上的情緒，畢竟Jesse已是全國通緝犯要跑路，這次道別算是最後一次相見了。

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嘗試修改Win10的hosts文件，位置在

C:\Windows\System32\drivers\etc\

這份文件是紀錄hostname與IP address兩者mapping關係的表格，該表的優先級比DNS查詢還高，自己嘗試汙染www.google.com實際的地址，以及工數教授有提供訪問NAS硬碟的IP address，我把它改命名為自定義的名稱，這樣就不需要記住難記的IP address，而可以用自定義的名稱訪問，雖然也不是什麼技術性的東西，但也算是複習了一下上學期學的一些網際網路基本常識。

02/11(五)

進度

• 訊號系統的Laplace Transform

心得

各科第一周公告陸續出來，像是工程數學(二)、量子物理，都是非同步實體，學期成績全由實體考試定生死，代表我也該收心了。隔了一個月不見，去新K館繼續讀訊號與系統。

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Fourier Transform是Laplace Transform的一個特例。

• Laplace Transform常用於系統分析，將時間維度轉換為複數平面
  $s=\sigma +j\omega$，藉此衍生出一套控制理論，像是求系統的轉移函數(transfer function)、判斷系統穩定性等，詳細內容請參閱自動控制相關課程。
  $$\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_{0^{-}}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt=F(s)\text{for practical signals}$$

下限是

$0^{-}$的原因是為了涵蓋在0點的脈衝(impulse)輸入。

• Fourier Transform常用於處理訊號，將時間維度轉換為頻率維度，即是令Laplace Transform中kernel function
  $k(s,t)$的
  $s$實部項
  $\sigma =0$，相當於只取複數平面上的虛數軸。
  $$\begin{array}{rl}\mathcal{F}\{f(t)\}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt=F(\omega )\\ {\mathcal{F}}^{-1}\{F(\omega )\}& =f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

老樣子是先探討這個定理的存在性與唯一性，接下來是它的性質與特殊函數，這邊是二上工數一的內容，算是替我做了個複習。

名稱	公式	物理意義
linearity	$\mathcal{L}\{a_1{f}_1(t)+a_2{f}_2(t)\}=a_1{F}_1(s)+a_2{F}_2(s)$	X
time-shifting	$\mathcal{L}\{f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$	時域上訊號延遲，複數平面上會縮小
frequency-shifting	$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$	時域上指數放大，複數平面上向右平移
time differentiation	$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$	時域上微分，複數平面上變大；時域上積分，複數平面上變小
frequency differentiation	$\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}=(-1{)}^n\frac{d^{n}F(s)}{d{s}^n}$	時域上乘 $t$，複數平面上微分一次並乘上 $-1$
initial value theorem	$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)=f(0^{+})$	時域上取的時間極短，對應到複數平面上s極高
final value theorem	$\underset{s\to 0}{lim}sF(s)=f(\mathrm{\infty })$	時域上會收斂至一定值，代表系統穩定(所有pole都在左半平面)，此方程式才成立
convolution	$\mathcal{L}\{f_1(t)\ast f_2(t)\}=F_1(s)F_2(s)$	時域上convolution = 複數平面上乘積

名稱	特殊函數 $f(t)$	$\mathcal{L}\{f(t)\}$
階梯函數	$H(t)$	$\frac{1}{s}$
指數函數	$e^{\alpha t}$	$\frac{1}{s-\alpha }$
冪函數	$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
三角函數1	$\cos \beta t$	$\frac{s}{s^2+{\beta }^2}$
三角函數2	$\sin \beta t$	$\frac{\beta }{s^2+{\beta }^2}$
組合範例	$e^{-\alpha t}\cos \beta t$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha )+{\beta }^2}$

需掌握部分分式分解的留數法、取極限、比較係數技巧湊成指定轉換堆的形式。

02/12(六)

進度

• 輸出訊號(ODE的解)涵蓋初值有關、輸出有關兩部分
  $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$
• 訊號系統的微分方程與incrementally LTI system

心得

很多系統(系統的輸出)都是用differential equation架構出來，而用Laplace Transform處理起來會方便許多。首先複習ODE的觀念。

一階ODE

$\dot{y}(t)+ay(t)=bu(t)$，給定1個初始條件

$y(0)=y_0$。其解可拆做兩項

1. homogeneous solution
   ${\dot{y}}_h(t)+a{y}_h(t)=0$，與input無關，由上式觀察，微分自己還是自己的特性，就是自然指數。
2. particular solution
   ${\dot{y}}_p(t)+a{y}_p(t)=bu(t)$，與input有關，由上式觀察，只需要找到1個滿足的解即可。

一開始是使用工數課本第一、二章的那些解法(請去複習工數內容)，再來帶出應該要使用Laplace Transform會簡化解ODE的過程(本課程重點)，也能觀察出系統的特性。

$$\begin{array}{rl}& \dot{y}(t)+ay(t)=bu(t)\\ & \text{Taking Laplace Transform}\\ \Rightarrow & sY(s)-y(0)+aY(s)=bU(s)\\ \Rightarrow & Y(s)=\underset{\text{transfer function }H(s)}{\underbrace{\frac{b}{s+a}}}U(s)+\underset{\text{多這項會造成系統非線性}}{\underbrace{\frac{y(0)}{s+a}}}\end{array}$$ 由02/06(日)可以知道判斷一系統是否為LTI系統，即是判斷系統的輸出是否為輸入與impulse response

$h(t)$的convolution。

$$\begin{array}{rl}y(t)& =u(t)\ast h(t)\\ Y(t)& =\mathcal{L}\{y(t)\}=U(s)H(s)\end{array}$$ 因此可以判斷這不是LTI系統，但當時間

$t\to \mathrm{\infty }$，由於

$\mathcal{L}\{\frac{y(0)}{s+a}\}=y(0)e^{-at}$會趨於0，因此系統輸出不會受到初值

$y(0)$影響，方程式改寫為

$Y(s)=H(s)U(s)$，符合LTI系統，就目前我的觀點，transfer function

$H(s)$就是impulse response做Laplace Transform，可以用

$H(s)$代表整個系統的行為。

而上述這種，一開始系統會受到初值影響，等到系統穩定後(前提是stable system，所有pole都在左半平面)，稱為incrementally LTI system，從字面上解讀就是系統隨著時間增加，會越來表現出LTI system的行為。

最後探討2個工程上的應用 - RLC circuit與彈簧阻尼系統。

02/13(日)

進度

• 訊號系統的sinusoidal response
• 訊號系統的Blot plot, filter

心得

今天新K館和圖書館都沒開，所以我跑來系K，系K真是個好地方，只要有張電機系的學生證，系K的大門永遠敞開，不過隨著畢業將至，我的學生證也快被收掉了。

一開始是探討sinusoidal response，白話來講就是當餵給LTI系統一個弦波訊號，輸出會是什麼?

$$\begin{array}{rl}Y(s)& =H(s)U(s)\\ & =H(s)\mathcal{L}\{\cos \omega t\}\\ & =\frac{Q(s)}{P(s)}\cdot \frac{s}{s^2+{\omega }^2}\\ & =\frac{b_{1}s+b_0}{s^2+a_{1}s+a_0}\cdot \frac{s}{s^2+{\omega }^2}\\ & =\frac{A}{s-{\lambda }_1}+\frac{B}{s-{\lambda }_2}+\frac{Cs+D\omega }{s^2+{\omega }^2}\\ & \cong \frac{Cs+D\omega }{s^2+{\omega }^2}\text{for }t\to \mathrm{\infty }\\ {\mathcal{L}}^{-1}\{Y(s)\}& =\sqrt{C^2+D^2}\cos (\omega t-\theta ),\theta ={\tan }^{-1}\frac{D}{C}\end{array}$$ 這時候為了要求係數

$C,D$，我們會令

$s=j\omega$帶入，計算得

$C-jD=\frac{Q(j\omega )}{P(j\omega ))}$，因此

$y(t)=|H(j\omega )|\cos (\omega t+\mathrm{\angle }H(j\omega ))$。其物理意義為當大小

$|H(j\cdot 10)|=0.0001$，即是把頻率為10的訊號過濾掉，而此外會產生

$-\mathrm{\angle }H(j\cdot 10)$的相位差，也就是說訊號會被延遲。由前面說的根據Fourier Transform，可知所有訊號都是由

$\cos ,\sin$所組成，因此由於不同頻率下的訊號會受到不同的大小與相位的改變，因此訊號通過filter後會產生distorsion，這是我們不樂見的。

再來是畫Bode plot，雖然已經學過很多遍了，但相關推導不太熟 - 由於

$Y(j\omega )=H(j\omega )U(j\omega )$，知道大小項是相乘、相位項是相加，由相乘的計算較複雜，因此會取

$\log$，使其變為相加簡化計算，定義為

$|Y(j\omega ){|}_{dB}=20\log |Y(j\omega )|$，取20的原因是

$10\log P=10\log v^2=20\log v$ ，為了要用電壓、電流的單位去表示功率。

假設一轉移函數

$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\frac{\omega }{a}}$，當頻率為

$a$時，

$|H(ja)|=|\frac{1}{1+j}|=\frac{1}{\sqrt{2}}$，將這個電壓值做平方就代表功率，也就是功率下降為二分之一的點(half-power point)，再取dB得

$|H(ja){|}_{dB}=-10\log 2\approx -3$，代表是訊號的mag下降3dB的點。當

$\omega \to \mathrm{\infty }$時，

$|H(ja){|}_{dB}=20\log (\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega }{a}{)}^2}})\approx -20\log (\frac{1}{\frac{\omega }{a}})=\underset{\text{slope}}{\underbrace{-20}}\log \omega +\underset{\text{x-intercept}}{\underbrace{20\log a}}$，有就是說頻率無限大時，將頻率取

$\log$會使mag的線變為一條直線，從x截距

$a$開始，斜率為

$-20dB$直線下降。

參見2021下三段日記 0104(二)，雖然上學期學過電子三filter，但我還真沒想到原來可以用這種方式去想，這種觀點實在太好了 - 電容是慢慢累積電荷，電壓變動值不可太快(電容的電壓必有連續性)，因此頻率低的訊號會通過，而高頻率的訊號則會留在電阻，更高頻率的訊號會留在電感，而輸入源就是上述3種訊號的合成，因此取電容是lowpass、取電感是highpass、取電阻是頻率中間的訊號，即為bandpass。

今天所學的內容其實就是電子二的Blot plot和電子三的filter，但陳永平用很物理的方式去解釋和循序漸進的思維去探討，讓我能體會到之前沒有感觸到所謂訊號的本質，我看得還蠻過癮的。

2022上寒假總結

進度

• 體驗原神遊戲
• 訊號系統的Fourier Series與頻譜圖
• 訊號系統的在LTI系統中，輸出為輸入與impulse response的convolution
• 訊號系統的微分方程與incrementally LTI system

心得

雖然在就結果論來說三上的學期成績表現不如預期，但從去年暑假高強度的讀書進度，實在有些疲倦，有一個禮拜的時間都在用新買的iPad Pro玩原神，角色建模可愛到度和開放世界的廣闊格局也讓我十分著迷，也被巴哈上的網友帶打副本和開地圖，一起玩了兩次，有人陪我玩遊戲我也蠻開心，之後就刪遊戲了，畢竟這遊戲還是脫離不了一般手遊的重複與工作感，實在太花時間了，我只是來玩遊戲，不是被遊戲玩。

媽媽、阿姨回潮州後，我開始讀訊號與系統，一直到整個農曆春節到開學的時間，算是補足通訊原理中欠缺的知識。

首先是探討訊號的本質，週期函數可用Fourier Series級數展開表示，頻率之間存在倍數關係，再來將Fourier Series簡化為頻譜圖去表示；接下來是取週期無窮大，從Fourier Series推導至Fourier Transform並探究其性質的物理意義。

第二部分是探討系統的本質，LTI系統的輸出為輸入與impulse response的convolution，這是一個很方便的表示式，因為無論輸入多少，可以藉由impulse response直接去代表這個系統的行為。引入Laplace Transform的工具，並說明Fourier Transform其實就是Laplace Transform的一個特例，最後引入一個ODE的觀念 - 輸出訊號(ODE的解)涵蓋初值有關、輸出有關兩部分，一開始系統會受到初值影響，等到系統穩定後(前提是stable system，所有pole都在左半平面)，稱為incrementally LTI system。

總結來說，雖然今年寒假很短，我也沒做太多事情，但讀訊號與系統所帶給我很大的衝擊 - 很多想法與觀念上革新。明天就開學了，希望下個學期我能把工數二、訊號與系統這些基礎中的基礎弄懂，題目練習熟練。