# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題14
**如右圖所示，今有一電量 $+q$、質量 $m$ 的質點，在坐標原點時有初速 $v_0$ ，其瞬間與 $x
、y、z$ 坐標軸的夾角分別為 $α、β、θ$。若空間中存在著往 $-z$方向的均勻磁場 $B$ 與電場 $E$，若忽略重力的影響，質點能回到原點，則 $v_0$ 的通式應為何？**

<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1iq-sXSn.png" width="３０0">
</center>
<br>

**應用觀念：**
1. 電場部分：等加速度運動
2. 磁場部分：等速率圓周運動（磁力提供向心力）
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

利用運動獨立性，$Z$ 方向進行等加速度運動(電力)，$x-y$ 平面進行等速率圓周運動(磁力)

電場部分，假設經過 $t$ 秒後回到 $Z=0$ 此點，則
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
v_{z,0}=v_0\cos{\theta}\\
a_z=-{\frac{qE}{m}}
\end{array}
\right.
&\implies \Delta Z=v_{z,0}t+{\frac{1}{2}}a_zt^2\\
&\implies 0=v_0\cos{\theta}t-{\frac{qE}{2m}}t^2\\
&\implies v_0={qEt \over 2m\cos{\theta}}\\
\
\end{aligned}

對於磁場部分，在平行 $x-y$ 平面上進行等速率圓周運動，其中磁力等於向心力
(切線速率 $v=v_0\sin{\theta}$ )
\begin{aligned}
F_B=F_C &\implies qvB={mv^2 \over r}\\
&\implies q(v_0\sin{\theta})B={m(v_0\sin{\theta})^2 \over r}\\
\
\end{aligned}

若要讓質點剛好回到原點，就是電力讓質點回到 $Z=0$ 時，也剛好經過 $n$ 個週期，即 $t=nT$ 。
因此我們需要計算等速圓周運動之週期

\begin{aligned}
T={2\pi r \over v}={2\pi r \over v_0\sin{\theta}}={2\pi m \over qB} \implies t=nT=n{2\pi m \over qB}\\
\
\end{aligned}

代入質點的速度條件式，
\begin{aligned}
v_0={qEt \over 2m\cos{\theta}} &\implies v_0={qE \over 2m\cos{\theta}}\times n{2\pi m \over qB}\\
&\implies v_0={\color{red}{{n\pi E \over B\cos{\theta}}，n \in N}}
\end{aligned}

@Hikari209518
###### tags: `帶電粒子在磁場的受力情形` `電場`