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title: 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題07
tags: [帶電粒子在電場的受力情形, 碰撞]

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# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題07
**附圖所示，在光滑平面上放置一長木板 AB，並在空間中加入一強度為 $E$，方向向下之均勻電場。若取一帶電量 $-q$、質量為 $m$ 小正方體 P 從 A 端以 $v_0$ 之初速度沿板面滑向另一端 B 時，則 P 抵達B 端時，恰與木板成相對靜止；若將小正方體 P 改為帶 $+q$ 之電量，則 P 抵達 AB 中點時即與木板成相對靜止。若帶電體在滑行期間所帶電量不改變，則此電場強度 E 與小正方體質量 m 之關係為何？**


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/S1nPf44I3.png" width="250">
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**應用觀念：**
1. 碰撞
2. 帶電粒子在電場的受力情形
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${\color{red}{詳解：}}$
假設小正方體P與長木板AB為完全非彈性碰撞，兩種情況碰撞後的速度皆為(質心速度)，因此碰撞前後所損失的能量(動能)亦相同，站在P的視角，損失的動能為動摩擦力作功，則

\begin{aligned}
\Delta E_k=f_k\Delta x=N\mu_k\Delta x=(mg \pm Eq)\Delta x\\
\
\end{aligned}

假設長木板之長度為 $2L$。若帶電為 $-q$，則取負號，故
\begin{equation}
\Delta E_k=(mg-Eq)\times 2L \implies \Delta E_k=2(mg-Eq)L \tag{1}\\
\
\end{equation}

若帶電為 $+q$，則取正號，故
\begin{equation}
\Delta E_k=(mg+Eq)\times L \implies \Delta E_k=(mg+Eq)L \tag{2}\\
\
\end{equation}

因$(1)=(2)$，得到
\begin{aligned}
2(mg-Eq)L=(mg+Eq)L &\implies 2mg-2Eq=mg+Eq \\
&\implies 3Eq=mg\\
&\implies E={\color{red}{\cfrac{mg}{3q}}}
\end{aligned}


補充：
碰撞後，兩物體之速度（亦為系統質心速度）
\begin{aligned}
v_P'=v_{AB}'=\frac{mv_0}{M+m}
\end{aligned}

碰撞前後損失之能量為
\begin{aligned}
\Delta E=\Delta E_k=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)(\frac{mv_0}{M+m})^2=\frac{1}{2}(\frac{M}{M+m})mv_0^2\\
\
\end{aligned}

@Hikari209518 
###### tags: `碰撞` `帶電粒子在電場的受力情形`