# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題04
**一質量為$m$的物體以初動能$K$沿一固定粗糙斜面上滑，滑行一段距離後折返下滑，滑回原處時的動能成為${K \over 3}$，若物體改以初動能$2K$沿同一斜面上滑，滑回原處時的動能成為多少？**

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**應用概念：功能定理-合力作功等於動能變化**

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${\color{red}{詳解：}}$
利用功能定理，合力作功等於動能變化。根據題目要求，假設當初動能為$2K$時，上滑最高距離為$L'$，物體在上滑與下滑的過程中，可將動摩擦力視為定力，因此合力作功(等於動摩擦力作功)可表示為
\begin{aligned}
W_{合力}=\Delta K &\implies W_f=\vec{F_f} \cdot \Delta \vec{x}=\Delta K \\
&\implies (-f_kL')+(-f_kL')=K'-2K\\
&\implies K'=-2f_kL'+2K\\
\end{aligned}

故需計算出$f_k$與$L'$

討論初動能為$K$之情形：
\begin{aligned}
W_{合力}=\Delta K &\implies W_f=\vec{F_f} \cdot \Delta \vec{x}=\Delta K \\
&\implies (-f_kL)+(-f_kL)={K \over 3}-K\\
&\implies -2f_kL=-{2 \over 3}K\\
&\implies f_kL={1 \over 3}K
\end{aligned}

其中$L$為上滑的最遠距離。

若初動能改變，則最遠距離亦會改變，其關係亦可利用功能定理，利用討論上滑過程，其關係式為
\begin{aligned}
W_{合力}=\Delta K &\implies W_f+W_g=\Delta K\\
&\implies (-f_kL)+(-mg\sin{\theta}L)=0-K \\
&\implies L={K \over f_k+mg\sin{\theta}}
\end{aligned}

若初動能變為$2K$，則最遠距離$L'$，則為
\begin{aligned}
L'={2K \over f_k+mg\sin{\theta}}=2L
\end{aligned}

因此
\begin{aligned}
K'=-2f_kL'+K=-4f_kL+2K
\end{aligned}

其中
\begin{aligned}
f_kL={1 \over 3}K
\end{aligned}

得到
\begin{aligned}
K'=-4\times {1 \over 3}K+2K={2 \over 3}K
\end{aligned}

@Hikari209518
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