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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題03
tags: [鉛直面圓周運動, 力學能守恆]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題03
**如右圖，一粗糙半球體固定於地面，半徑為 $R$，在最高點有一小圓球半徑 $a(a << R)$ 原本靜止，因受一極小推力而受重力 $g$ 影響，開始滾動(只有滾動沒有滑動)。若物在距地面高 $h_0$ 時恰離開球面，試求：(a) $h_0$ 與 $R$ 的關係。(b) 小球離開球面前，正向力 $N$ 與任意高度 $h$ 的關係。**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/S1xiln7H3.png" width="300">
</center>
<br>


**應用觀念：**
1. 力學能守恆：動能須包含移動動能與轉動動能
2. 鉛直面圓周運動
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJCdmTQr2.png" width="300">
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<br>

**(a)** 因下降過程中，只有重力作功，當小球在高度 $h$ 時，速度大小可以力學能守恆計算：
\begin{aligned}
E_R=E_h &\implies mgR+0=mgh+{1 \over 2}mv^2+{1 \over 2}I\omega^2\\
\
\end{aligned}

因為純滾動，故
\begin{aligned}
\left\{ 
  \begin{array}{l}
    \omega={v \over a} \\ 
    I={2 \over 5}ma^2 
  \end{array}
\right.
&\implies {1 \over 2}I\omega^2={1 \over 2}\times {2 \over 5}ma^2\times {v^2 \over a^2}={1 \over 5}mv^2\\
\
\end{aligned}

代回力學能守恆之式子，
\begin{aligned}
E_R=E_h &\implies mgR+0=mgh+{1 \over 2}mv^2+{1 \over 2}I\omega^2\\
&\implies mg(R-h)={1 \over 2}mv^2+{1 \over 5}mv^2={7 \over 10}mv^2\\
&\implies v^2={10 \over 7}g(R-h)\\
\
\end{aligned}


恰離開球面即$N=0$，則重力分力提供向心力，且 $h=h_0$，故

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/BktZHaXB2.png" width="300">
</center>
<br>

\begin{aligned}
mg\cos{\theta}=F_c={mv^2 \over r} &\implies mg{h_0 \over R}=m{{10 \over 7}g(R-h_0) \over R}\\
&\implies h_0={10 \over 7}(R-h_0)\\
&\implies {17 \over 7}h_0={10 \over 7}R\\
&\implies h_0={\color{red}{{10 \over17}R}}
\end{aligned}

**(b)** 若未離開球表面，則
\begin{aligned}
\Sigma F=F_c &\implies mg\cos{\theta}-N={mv^2 \over r}\\ 
&\implies mg{h \over R}-N=m{{10 \over 7}g(R-h) \over R}\\
&\implies N={mgh \over R}-{10 \over 7}{mg(R-h) \over R}\\
&\implies N={17 \over 7}{mgh \over R}-{10 \over 7}mg\\
&\implies N={{mg \over 7R}(17h-10R)}\\
\
\end{aligned}


\begin{aligned}
\left\{ \color{red}{
  \begin{array}{l}
    h\ge h_0 \implies N={{\frac{mg}{7R}}(17h-10R)} \\ 
    h\lt h_0 \implies N=0
  \end{array}}
\right.
\end{aligned}

@Hikari209518
###### tags: `力學能守恆` `鉛直面圓周運動`