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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題13
tags: [質心位置, 靜力平衡]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題13
**一吊橋由六對鋼纜懸吊著，六對鋼纜在橋面上分列兩排，其上端掛在兩根鋼繩上，如圖所示為其一側截面圖。已知圖中相鄰兩鋼纜間距離均為 $9\ \mathrm{m}$，靠橋面中心的鋼纜長度為 $2\ \mathrm{m}$ $(\overline{AA'}= \overline{DD'}=2\ \mathrm{m})$，$\overline{BB'}=\overline{EE'}，\overline{CC'}=\overline{FF'}$，又已知兩端鋼繩與塔相連接處，水平成 $45°$ 角，若不計鋼繩、鋼纜重量，每段鋼繩 $\overline{CB}、\overline{BA}、\overline{AD}、\overline{DE}、\overline{EF}$ 可視為直線，為使每根鋼纜承受負荷相同，試問：$\overline{BB'}$鋼纜長度應為多少米？**


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/Hkvc11aB3.png" width="350">
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**應用觀念：靜力平衡：三力平衡**

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${\color{red}{詳解：}}$(以下僅考慮單側)

假設橋重量為 $6W$，則因每根鋼纜承受負荷相同，其張力為 $W$。若以整座橋樑為系統
，則受力情形如下圖


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SJSJWy6Bn.png" width="350">
</center>
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討論 $y$ 方向合力為零，故
\begin{aligned}
\Sigma F_y=0 &\implies 2F\sin{45^\circ}=6W\\
& \implies F=3\sqrt2W\\
\
\end{aligned}

若以右側橋樑為受力物(系統)，則受力情形為

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/BJTsD1pr3.png" width="350">
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其中因為 $A、D$ 兩點等高，且 $\overline{AD}$ 為直線，故此纜繩張力為水平力。三力平衡必共點，水平力 $F'$ 沿三力交點繼續往右延伸，交 $\overline{FF'}$ 於 $H$ 點，因 $F$ 力與水平夾 $45°$ 角，故 $\overline{FH}=\overline{E'F'}=9\ \mathrm{m}$；接著，水平力與橋梁平行，故$\overline{HF'}=\overline{DD'}=2\ \mathrm{m}$，故
\begin{aligned}
\overline{FF'}=9+2=11\ \mathrm{(m)}\\
\
\end{aligned}

最後分析 $F$ 點受力情形(討論 $\overline{EF}$ 與水平夾角)

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/Hyt-c16B2.png" width="200">
</center>

\begin{aligned}
\Sigma F=0 &\implies 
\begin{cases}
\Sigma F_x=0\\
\Sigma F_y=0
\end{cases}\\
&\implies
\begin{cases}
T'\cos{\theta}=F\cos{45^\circ}=3W\\
T'\sin{\theta}=F\sin{45^\circ}-W=2W
\end{cases}\\
&\implies  \frac{T'\sin{\theta}}{T'\cos{\theta}}=\frac{2}{3}\\
&\implies  \tan{\theta}=\frac{2}{3}\\
\
\end{aligned}

$E$ 點沿水平方向延伸交 $\overline{FF'}$ 於 $G$ 點，其中 $\overline{EG}=\overline{EF'}=9\ \mathrm{m}，\tan{\theta}=\frac{2}{3}$，因此

\begin{aligned}
&\overline{FG'}=\overline{EG}\tan{\theta}=9\times \frac{2}{3}=6\ \mathrm{(m)}\\
&\implies \overline{EE'}=\overline{GF'}=\overline{FF'}-\overline{FG}=11-6={\color{red}{5\ \mathrm{(m)}}}\\
\end{aligned}

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${\color{red}{另解：}}$(馬弘昌老師提供，考慮兩側受力)

假設橋重量為 $W$，則因每根(兩側共 $12$ 根)鋼纜承受負荷相同，其張力為 ${W \over 12}$。若以整座橋樑為系統
，則受力情形如下圖

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryQtYepB2.png" width="350">
</center>
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討論 $y$ 方向合力為零，故
\begin{aligned}
\Sigma F_y=0 &\implies 4T\sin{45^\circ}=W\\
& \implies T=\frac{W}{2\sqrt2}\\
\
\end{aligned}

分析 $A$ 點受力情形(討論 $\overline{AB}$ 與水平夾角)

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/S1sIFlpH3.png" width="400">
</center>


\begin{aligned}
&\tan{\theta}=\frac{W \over 12}{T\cos{45^\circ}}=\frac{W \over 12}{W \over 4}={1 \over 3}=\frac{\overline{BB'}-\overline{AA'}}{\overline{B'A'}}\\
&\implies \overline{BB'}={\color{red}{5\ \mathrm{m}}}\\
\end{aligned}



@Hikari209518  
###### tags: `靜力平衡` `質心位置`