# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題09
**有一物體在加熱的過程中，每單位時間內傳遞給物體的熱量保持定值。實驗結果顯示該物體的溫度 T 和加熱時間 $t$ 的關係式為 $T ∝ t^3$，則該物體的比熱 $s$ 和溫度 $T$ 的關係式為 $s ∝ T^n$，則 $n$ 為多少？**

**應用觀念：熱容量與比熱的定義**
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${\color{red}{詳解：}}$
根據熱容量C與比熱s的定義，可以表示為
\begin{aligned}
C={dH \over dT} \implies s={C \over m}={dH \over mdT}\\
\
\end{aligned}

根據題目：每單位時間內傳遞給物體的熱量保持定值，假設$H=\alpha t$，且令$T=\beta t^3$，則
\begin{aligned}
T=\beta t^3 \implies t=\beta ^{-{1 \over 3}}T^{{1 \over 3}}
\end{aligned}

代入$H$式子
\begin{aligned}
H=\alpha t \implies H=\alpha \beta ^{-{1 \over 3}}T^{{1 \over 3}}=\kappa T^{{1 \over 3}}
\end{aligned}

因此
\begin{aligned}
s={dH \over mdT} &\implies s={d(\kappa T^{1 \over 3}) \over mdT}={\kappa \over m}\times {1 \over 3}T^{-{2\over 3}}\\
&\implies s\propto T^{-{2\over 3}}\\
\
\end{aligned}

故
\begin{aligned}
n={\color{red}{{-{2\over 3}}}}
\end{aligned}

@Hikari209518
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