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title: 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題15
tags: [角動量, 等速率圓周運動]

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# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題15
**一長度為 $2L$、質量為 $2M$ 的均勻細棒(可視為剛體)，細棒的中點固定在一垂直 $y$ 軸上。令細棒以一固定的夾角 $θ$ 繞著垂直 $y$ 軸作等角速度 $ω$ 轉動，如右圖所示。當細棒轉到 $x－y$ 平面上的瞬間，則剛棒繞中點之角動量量值為何？**


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryCv4bjI2.png" width="200">
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**應用觀念：**
1. 圓周運動
2. 角動量
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
根據角動量的計算

\begin{aligned}
L_角=rp\sin{\phi}=mrv\sin{\phi}\\
\
\end{aligned}

本此解題重點，利用每個質點的瞬時速度對於剛棒中點的角動量
\begin{equation}
\mathrm{d}L_角=\mathrm{d}m\times \ell\times (\ell\sin{\theta}\omega)\sin{90^\circ} \tag{1}\\
\
\end{equation}

其中，每個質點之質量 $\mathrm{d}m$ 可以表示為
\begin{aligned}
\mathrm{d}m=\cfrac{2M}{2L}\mathrm{d}\ell \implies \mathrm{d}m=\cfrac{M}{L}\mathrm{d}\ell
\end{aligned}

將上式代入 $(1)$ 式，並將之積分 
\begin{aligned}
\int\mathrm{d}L_角&=\int_{-L}^L\cfrac{M}{L}\mathrm{d}\ell\times \ell\times (\ell\omega\sin{\theta})\sin{90^\circ}\\
&=\cfrac{M\omega\sin{\theta}}{L}({2\over 3}L^3)\\
&={\color{red}{\cfrac{2}{3}ML^2\omega\sin{\theta}}}\\
\
\end{aligned}


@Hikari209518
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