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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題10
tags: [簡諧運動]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題10
**彈力常數分別為 $k_1$ 與 $k_2$ 的兩理想輕彈簧，如圖所示，連結於輕鐵片 AB 上的 C、B 兩點，$k_1$ 彈簧下端懸有質量 $m$ 的物體，$\overline{AB}：\overline{AC}= 3：2$，輕鐵片 A 端無摩擦地接於牆上，呈現水平。今將 $m$ 往下拉，使輕鐵片偏離原位置一小角度，放開 $m$ 後，進行簡諧運動，試問：其振動週期為何？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/rklVhJ6S2.png" width="300">
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**應用觀念：簡諧運動**
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${\color{red}{詳解：}}$

目標，將彈簧 $k_2$ 等校為彈簧 $k$，

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/ByxJnl6B3.png" width="300">
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假設，將 $m$ 下拉，$B$ 點下移 $\Delta x_2$，$C$ 點下移 $\Delta x$，以 $A$ 點為支點，彈簧 $k_2$ 所造成的力矩，和等校彈簧 $k$ 相同，因此(假設輕鐵片全長 $3L$)

\begin{aligned}
\tau_k=\tau_{k_2} &\implies k\Delta x\times 2L=k_2\Delta x_2\times 3L\\
& \implies k=\frac{3k_2\Delta x_2}{2\Delta x}\\
\
\end{aligned}


因下拉 $m$，使輕鐵片偏離原位置一小角度，故 $\Delta x$ 與 $\Delta x_2$ 可以視為弧長，則

\begin{aligned}
&\theta=\frac{\Delta x}{2L}=\frac{\Delta x_2}{3L}\implies \frac{\Delta x_2}{\Delta x}=\frac{3}{2}\\
\
\end{aligned}

代入 $k$ 式子，得到

\begin{aligned}
k=\frac{3k_2\Delta x_2}{2\Delta x}=\frac{9}{4}k_2\\
\
\end{aligned}

接著視為彈簧 $k$ 與彈簧 $k_1$ 串聯，其等校彈性係數 $k'$ 為

\begin{aligned}
k'=\frac{1}{{1 \over k_1}+{1 \over k}}=\frac{k_1k}{k_1+k}=\frac{{9 \over 4}k_1k_2}{k_1+{9 \over 4}k_2}=\frac{9k_1k_2}{4k_1+9k_2}\\
\
\end{aligned}

因此，$m$ 的週期為
\begin{aligned}
T=2\pi\sqrt{m \over k'}={\color{red}{2\pi\sqrt{\frac{m(4k_1+9k_2)}{9k_1k_2}}}}
\end{aligned}

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${\color{red}{另解：}}$(馬弘昌老師提供)

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SkH0hgprh.png" width="700">
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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SkZeTx6S2.png" width="500">
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@Hikari209518   
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