---
# System prepended metadata

title: 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題05
tags: [力學能守恆]

---

# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題05
**在光滑水平絕緣平面上，放置一長為 $\ell$ 的彈簧，兩端各連接相同小球，兩球原為靜止，如圖所示。今使二小球突然帶相同電量，因斥力作用可使彈簧彈開。設第一次兩小球之帶電量均為 $+q_1$，最大伸長量為 $\cfrac{\ell}{2}$；第二次兩球的帶電量皆為$+q_2$，可使彈簧最大伸長量為$\cfrac{\ell}{4}$，則彈簧達到最大伸長量時，兩次電力之比為？**

<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJVocnEIh.png" width="350">
</center>
<br>


**應用觀念：力學能守恆**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
根據力學能守恆列式，對 $q_1$ 部分，

\begin{aligned}
E=E_0 &\implies \frac{kq_1^2}{\ell}=\frac{1}{2}k'(\frac{\ell}{2})^2+\frac{kq_1^2}{3\ell \over 2}\\
&\implies \frac{kq_1^2}{3\ell}=\frac{1}{8}k'\ell^2\\
&\implies q_1^2=\frac{3k'\ell^3}{8k}
\end{aligned}

同理，對 $q_2$ 部分，
\begin{aligned}
E=E_0 &\implies \frac{kq_2^2}{\ell}=\frac{1}{2}k'(\frac{\ell}{4})^2+\frac{kq_2^2}{5\ell \over 4}\\
&\implies \frac{kq_2^2}{5\ell}=\frac{1}{32}k'\ell^2\\
&\implies q_2^2=\frac{5k'\ell^3}{32k}
\end{aligned}

則彈簧達到最大伸長量時，兩次電力比為
\begin{aligned}
F_1:F_2=\frac{kq_1^2}{({3\ell \over 2})^2}:\frac{kq_2^2}{({5\ell \over 4})^2}={1 \over 6}:{1 \over 10}={\color{red}{5:3}}
\end{aligned}


@Hikari209518
###### tags: `力學能守恆`