# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_計算題01

**一莫耳的雙原子理想氣體，初始狀態為體積 $V_0$，壓力 $P_0$。設此氣體經壓力 $P$ 與體積 $V$ 成正比的準靜態熱力過程。試問：
(a) 若此過程最後氣體分子的方均根速率$(v_{rms})$為初始值的 $4$ 倍。求最後的壓力為何？
(b) 求此過程所作的功？**

**應用觀念：氣體動力論**
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${\color{red}{詳解：}}$
根據氣體動力論，總能量可以表示為
\begin{aligned}
E_總=N\overline{E_k}=N\frac{1}{2}mv_{rms}^2=N\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}PV \implies v_{rms}^2 \propto PV\\
\
\end{aligned}

因假設氣體經壓力 $P$ 與體積 $V$ 成正比，其關係可以表示為
\begin{aligned}
\cfrac{P}{P_0}=\cfrac{V}{V_0}\implies V=\cfrac{V_0}{P_0}P\\
\
\end{aligned}

方均根速率與壓力之關係則為
\begin{aligned}
v_{rms}^2 \propto PV \implies v_{rms}^2 \propto P^2 \implies v_{rms} \propto P
\
\end{aligned}

所以當方均根速率變為 $4$ 倍，壓力則變為 ${\color{red}{4P_0}}$
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利用氣體作功之公式，可得到
\begin{aligned}
W=\int P \mathrm{d}V=\int_{P_0}^{4P_0} P \cfrac{V_0}{P_0}\mathrm{d}P=\cfrac{V_0}{P_0}\times {1\over 2}(16P_0^2-P_0^2)={\color{red}{\cfrac{15}{2}P_0V_0}}
\end{aligned}

@Hikari209518
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