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title: 112學年度_中壢高中_第二次教甄_計算題04
tags: [理想氣體方程式, 功能定理]

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# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_計算題04

**如圖，固定的密閉汽缸內充入理想氣體，其上的活塞以一條細繩跨過定滑輪與一質量 $m$ 的物體連接，系統平衡時汽缸內氣體體積為 $V$。已知外界大氣壓力 $P_0$，活塞的截面積 $S$，活塞質量不計，也不考慮其上下運動時的摩擦力。試問：（重力加速度量值以 $g$ 表示）
(a) 今若將 $m$ 以手托住使其緩慢上移（視為等溫過程），直到細繩中的張力恰為零，此時活塞將移動若干距離？
(b) 接續上題，若此時將 $m$ 釋放，當其下落到最低點時（尚未接觸地面），活塞因此上升了 $H$ 的高度，則在此過程中汽缸內氣體作功若干？** 


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1AOhnnIh.png" width="150">
</center>
<br>

**應用觀念：**
1. 理想氣體方程式
2. 功能定理
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
(a)
密閉汽缸內的氣體初始狀態：
\begin{aligned}
P=P_0-\cfrac{mg}{S}
\end{aligned}

細繩中的張力恰為零之狀態
\begin{aligned}
P'=P_0
\end{aligned}

根據理想氣體方程式，溫度與分子數固定，因此
\begin{aligned}
PV=P'V' &\implies (P_0-\cfrac{mg}{S})V=P_0(V-S\Delta \ell)\\
&\implies P_0V-\cfrac{mg}{S}V=P_0V-P_0S\Delta \ell\\
&\implies \Delta \ell={\color{red}{\cfrac{mgV}{P_0S^2}}}
\end{aligned}
<br>

(b)
若以活塞與物體視為一系統，利用功能定理-外力和作功等於總動能變化，因釋放與最低點之動能皆為零，因此，外力和作功為零，
\begin{aligned}
\Sigma W=\Delta E_k=0 &\implies W_{氣體}+W_g+W_P=0\\
&\implies W_{氣體}+mgH+(-P_0SH)=0\\
&\implies W_{氣體}=P_0SH-mgH={\color{red}{(P_0S-mg)H}}\\
\
\end{aligned}

@Hikari209518   
###### tags:  `理想氣體方程式` `功能定理`









