---
# System prepended metadata

title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題12
tags: [質心運動]

---

# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題12
**在光滑的水平地面上有一質量為 $2\text{ kg}$，體積極小的木塊以 $v=4 \text{ m/s}$ 的速度運動；另有一顆質量為 $4\text{ kg}$，體積極小的小球由 $10\text{ m}$ 高自由落下，重力加速度 $g=10 \text{ m/s}^2$。假設座標原點設在球開始掉下時系統的質心上，水平向右為$+x$ 方向，鉛直向上為 $+y$ 方向，則在自由落下的過程中，系統質心運動的軌跡方程式為 $y=ax^2+bx+c$，則$（a，b，c）=$ ________。(全對才給分)**

<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/BJsFOkfS2.png" width="300">
</center>
<br>


**應用觀念：質心運動**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
假設，木塊與小球水平距離為 $L$，而木塊與小球的 $x$ 位置對時間函數為

（令木塊質量為m，小球質量為M）：
\begin{aligned}
&小球：x_M=-{1 \over 3}L \\
&木塊：x_m=4t+{2 \over 3}L\\
\
\end{aligned}

質心 $x$ 位置對時間函數為：
\begin{aligned}
x_c&={mx_m+Mx_M \over m+M}\\
&={2\times (4t+\cfrac{2}{3}L)+4\times (-\cfrac{1}{3}L) \over 2+4}\\
&={4 \over 3}t\\
\
\end{aligned}

木塊與小球的 $y$ 位置對時間函數為
（令木塊質量為m，小球質量為M）：
\begin{aligned}
&小球：y_M=-{1 \over 2}gt^2 +{10 \over 3} \\
&木塊：y_m=-{20 \over 3}\\
\
\end{aligned}

質心 $y$ 位置對時間函數為：
\begin{aligned}
y_c&={my_m+My_M \over m+M}\\
&={2\times (-\cfrac{20}{3})+4\times (-\cfrac{1}{2}gt^2 +\cfrac{10}{3}) \over 2+4}\\
&=-{10 \over 3}t^2\\
\
\end{aligned}

將 $x_c$ 與 $y_c$，消除 $t$ 合併，得到:
\begin{aligned}
y_c=-{10 \over 3}t^2=-{10 \over 3}({3x \over 4})^2=-{15 \over 8}x_c^2
\end{aligned}

故
\begin{aligned}
{\color{red}{(a,b,c)=(-{15 \over 8},0,0)}}
\end{aligned}


@Hikari209518 
###### tags: `質心運動`