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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題15
tags: [角動量守恆, 力學能守恆]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題15
**有一不帶動力裝置的行星探測器，自遠方以速度 $v_0$ 射向某一行星，計劃在行星上著陸，如圖所示。已知探測器質量為 $m$，行星的質量為 $M$，半徑為 $R$。$b$ 表示 $v_0$ 與行星間的垂直距離(也稱為瞄準距離)，試問：欲使探測器可以在行星上著陸，$b$ 的最大值為何？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/HyFwYzFH3.png" width="400">
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**應用觀念：**
1. 角動量守恆
2. 力學能守恆

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${\color{red}{詳解：}}$

利用角動量守恆與力學能守恆，且將 $R$ 視為兩者最近距離，其中力學能守恆公式為
\begin{aligned}
\cfrac{1}{2}mv_0^2=\cfrac{1}{2}mv_m^2+(-\cfrac{GMm}{R})
\end{aligned}

角動量守恆公式為

\begin{aligned}
bv_o=Rv_m \implies v_m={bv_0 \over R}
\end{aligned}

將上式帶入力學能守恆之公式

\begin{aligned}
\cfrac{1}{2}mv_0^2=\cfrac{1}{2}mv_m^2+(-\cfrac{GMm}{R}) &\implies v_0^2=({bv_0 \over R})^2+(-\cfrac{2GM}{R})\\
&\implies b^2=R^2(1+\cfrac{2GM}{v_0^2R})\\
&\implies b={\color{red}{R\sqrt{1+\cfrac{2GM}{v_0^2R}}}}
\end{aligned}


@Hikari209518 
###### tags: `力學能守恆` `角動量守恆`