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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題02
tags: [簡諧運動]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題02
**如下圖，某生將兩水平截面積與體積皆相同、密度各為 $𝜌_1$ 與 $𝜌_2$ 之方形板塊，以膠水黏合後浸入於某一液體中，發現黏合後的板塊可靜止平衡在液體內任一點。若黏合前兩方形板塊之厚度皆為 $h$，今將黏合後之板塊自離液面高度 $h_0$ 處$（h<h_0<2h）$由靜止釋放，如下方右圖所示。若液體的流動、阻力與表面張力可忽略不計，則板塊第一次恰完全沒入液體的時間為多少？（設重力加速度為 $𝑔$）**


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1YZ9sBSn.png" width="800">
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**應用觀念：簡諧運動**
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${\color{red}{詳解：}}$

分析左圖情形，可以得到液體密度 $\rho$ 為
\begin{aligned}
F_B=F_g &\implies \rho (2V)g=\rho_1Vg+\rho_2Vg \\
&\implies \rho={\rho_1+\rho_2 \over 2}
\end{aligned}

假設，$h_0=x$，截面積 $A$，板塊所受合力為
\begin{aligned}
\Sigma F=Mg-F_B&=Mg-\rho A(2h-x)g\\
&=Mg-\rho A(2h)g+\rho Axg
\end{aligned}

其中，$M$為板塊的總質量，與液體密度之關係為
\begin{aligned}
M=\rho_1V+\rho_2V&=\rho_1Ah+\rho_2Ah\\
&=({\rho_1+\rho_2 \over 2})A(2h)\\
&=\rho A(2h)
\end{aligned}

故合力為
\begin{aligned}
\Sigma F&=Mg-\rho A(2h)g+\rho Axg\\
&=\rho Axg \propto x
\end{aligned}

從上式可以看出為簡諧運動，且當板塊全部浸入液體，則合力為零，表示所經過時間為四分之一周期，因此周期為
\begin{aligned}
\Sigma F&=\rho Axg=kx \implies \omega=\sqrt{k \over M}=\sqrt{\rho Ag \over M}
\end{aligned}

利用 $M$ 與 $\rho$ 關係式$(M=2\rho Ah)$，則
\begin{aligned}
\omega=\sqrt{\rho Ag \over M}=\sqrt{g \over 2h}\\
\implies T={2\pi \over \omega}=2\pi \sqrt{2h \over g}\\
\end{aligned}

所經過時間則為
\begin{aligned}
t={1 \over 4}T={1 \over 4}\times 2\pi \sqrt{2h \over g}={\color{red}{\pi \sqrt{h \over 2g}}}
\end{aligned}

@Hikari209518 
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