# 相對運動之問題探討

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\begin{equation}
M\implies V_c^2=0^2+2a_M\Delta x_M \tag{1}\\
\end{equation}

\begin{equation}
m\implies V_c^2=V_0^2-2a_m\Delta x_m \tag{2}\\
\end{equation}

$(2)-(1)$

\begin{equation}
0^2=V_0^2-2(a_m\Delta x_m+a_M\Delta x_M)
\end{equation}

其中
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta x_M=S\\
\Delta x_m=S+d\\
\end{cases}\\
\
\end{equation}

可以得到
\begin{equation}
a_m\Delta x_m+a_M\Delta x_M=a_m(S+d)+a_MS \tag{3}\\
\
\end{equation}

目標，將 $S$ 換成 $d$，利用另外一個關係是
\begin{equation}
\begin{cases}
\Delta x_M=S=\cfrac{1}{2}a_Mt^2\\
\Delta x_m=S+d=V_0t-\cfrac{1}{2}a_mt^2
\end{cases}\\
\
\end{equation}

其中 $V_0$，可以利用相對運動得到
\begin{equation}
V_0=(a_m+a_M)t\\
\
\end{equation}

因此位移 $\Delta x_m$ 可以改寫成
\begin{equation}
\Delta x_m=S+d=(a_m+a_M)t^2-\cfrac{1}{2}a_mt^2=a_Mt^2+\cfrac{1}{2}a_mt^2\\
\
\end{equation}

則 $d$ 可以表示為
\begin{equation}
\Delta x_m-\Delta x_M=d=\cfrac{1}{2}(a_m+a_M)t^2\\
\
\end{equation}
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(也可以利用站在 $M$ 的角度觀察 $m$，得到上面關係式)
>\begin{equation}
>d=V_0t-\cfrac{1}{2}(a_m+a_M)t^2=(a_m+a_M)t^2-\cfrac{1}{2}(a_m+a_M)t^2=\cfrac{1}{2}(a_m+a_M)t^2
>\end{equation}

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而 $S$ 與 $d$ 之關係為
\begin{equation}
\cfrac{S}{d}=\cfrac{a_M}{a_M+a_m} \implies S=\cfrac{a_M}{a_M+a_m}d\\
\
\end{equation}

將上式代入 $(3)$
\begin{aligned}
a_m\Delta x_m+a_M\Delta x_M&=a_m(S+d)+a_MS\\
&=(a_m+a_M)S+a_md\\
&=(a_m+a_M)(\cfrac{a_M}{a_M+a_m})d+a_md\\
&=(a_M+a_m)d
\end{aligned}