---
# System prepended metadata

title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題09
tags: [等速率圓周運動, 波耳氫原子模型]

---

# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題09
**依照波耳氫原子模型，電子繞質子等速率圓周運動。若已知電子的質量為 $m$，普朗克常
數為 $h$，氫原子在基態時其軌道半徑為 $a_0$。令無窮遠為零位面，試問：氫原子在第一受
激態時，電子的總能量為何？**

<br>

**應用概念：**
1. 波耳氫原子模型
2. 等速率圓周運動的總力學能
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

利用角動量量子化之特性，也就是

\begin{aligned}
L=n\hbar &\implies 2\pi r_n=n\lambda=\frac{nh}{p}\\
&\implies p=\frac{nh}{2\pi r_n}\\
\
\end{aligned}

因此，電子動量 $p$ 與動能 $E_k$則可表示為

\begin{aligned}
E_k=\frac{p^2}{2m}=\frac{({\frac{nh}{2\pi r_n}})^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8\pi^2 mr_n^2}\\
\
\end{aligned}

根據電子利用庫倫靜電力提供向心力進行等速率圓周運動，則總力學能為
\begin{aligned}
E=E_k+U_q=-E_k=-\frac{n^2h^2}{8\pi mr_n^2}\\
\
\end{aligned}

因軌道半徑與$n^2$成正比，即
\begin{aligned}
r_n=n^2r_0=n^2a_0\\
\
\end{aligned}

將上式帶入總總力學能，且第一激發態為 $n=2$，故得到
\begin{aligned}
E=-\frac{n^2h^2}{8\pi mr_n^2}=-\frac{h^2}{8\pi mn^2a_0^2}={\color{red}{-\frac{h^2}{32\pi ma_0^2}}}
\
\end{aligned}


<br>

${\color{red}{另解：}}$

根據波耳氫原子模型，電子在軌道上進行等速率圓周運動，所受庫倫靜電力等於向心力，即
\begin{aligned}
F_q=F_c \implies \frac{ke^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\\
\
\end{aligned}

則在軌道上的動能為
\begin{aligned}
\frac{ke^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\implies E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{ke^2}{2r}
\
\end{aligned}

總力學能為
\begin{aligned}
E=E_k+U_q \implies E=\frac{ke^2}{2r}+(-\frac{ke^2}{r})=-\frac{ke^2}{2r}
\
\end{aligned}


因軌道半徑與$n^2$成正比，即
\begin{aligned}
r_n=n^2r_0=n^2a_0\\
\
\end{aligned}

第一激發態的軌道半徑為
\begin{aligned}
n=2 \implies r_2=4a_0\\
\
\end{aligned}

將上式帶入總力學能 $E$，得到
\begin{aligned}
&E=-\frac{ke^2}{2r}={\color{red}{-\frac{ke^2}{8a_0}}}\\
&{\color{red}{\text{(我覺得這個答案也可以)}}}
\end{aligned}

題外話：
實際上，第一個答案比較合適，因為全部皆使用題目所給的物理量。
但有時候一些常數沒給，也是可以拿來用的..

@Hikari209518 
###### tags: `波耳氫原子模型` `等速率圓周運動`