# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題13
**一長度 $L$ 的水平細繩，一端固定於牆壁，另一端則使其在鉛直方向上作微幅的簡諧振動，其振幅為 $A_0$。若繩子上形成駐波，出現 $(n + 1)$ 個節點（包括繩在牆壁的固定端），各個波腹的振幅為 $2A_0$，相鄰兩節點的間距均為 $d$，則繩長的範圍為 $a≤L≤b$。則$（a，b）$為多少？**

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**應用觀念：繩波上的駐波**

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${\color{red}{詳解：}}$

此題出處為

但是，能夠讓手持點振幅為 $A_0$ 的應該只有兩點，不是一個範圍。原出處應指此兩點的最長值與最短值。此兩點如下圖所示：


其駐波波函數可以表示為
\begin{aligned}
y=2A_0\sin{({\pi \over d}x)}\cos{\omega t}\\
\
\end{aligned}

此題僅考慮位置部分，即 $t=0$，為藍線部分。
\begin{aligned}y=2A_0\sin{({\pi \over d}x)}\\
\
\end{aligned}

手持點前共有 $(n+1)$ 個節點，長度共為 $nd$，最後一個節點到手持點為
\begin{aligned}
A_0=2A_0\sin{({\pi \over d}(x-nd))} &\implies \sin{({\pi \over d}(x-nd)}={1 \over 2}\\
&\implies {\pi \over d}(x-nd)={\pi \over 6}\quad或\quad{5\pi \over 6}\\
&\implies x-nd={1 \over 6}d\quad 或\quad {5 \over 6}d\\
&\implies x={\color{red}{(n+{1 \over 6})d\quad或\quad (n+{5 \over 6})d}}
\end{aligned}

所以最長值為$(n+{5 \over 6})d$，最短值為$(n+{1 \over 6})d$。(並非範圍值)

@Hikari209518
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